Calcule os volumes dos sólidos W_{1} e W_{2}, limitados por:
Entre as esferas x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 e x^{2}+y^{2}+z^{2}=9, acima do cone z=\sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{3}}. Usar coord. esféricas.

Passo 1

O enunciado pede o volume dos dois sólidos W_{1} e W_{2} obtidos ao cortar a casca esférica
2 \le \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\le 3
pelo cone
z = \sqrt{\frac{x^{2}+y^{2}}{3}}.
O conteúdo é cálculo de volume em coordenadas esféricas, onde usaremos \rho,\varphi,\theta com
\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 2

Primeiro identificamos o ângulo do cone em esféricas. Como
\tan\varphi = \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{z} = \sqrt{3},
temos
\varphi = \arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}.
O sólido acima do cone é a parte com 0\le\varphi\le\pi/3, e o sólido abaixo é \pi/3\le\varphi\le\pi. Em \rho vai de 2 a 3 e em \theta de 0 a 2\pi.

Passo 3

Montamos o integral para W_{1} (acima do cone, \varphi\in[0,\pi/3]):
V_{1} =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi/3}\!\int_{2}^{3} \rho^{2}\sin\varphi\;d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Separamos em parte radial e angular:
\int_{2}^{3}\rho^{2}d\rho =\Bigl[\tfrac{\rho^{3}}{3}\Bigr]_{2}^{3} =\frac{27-8}{3} =\frac{19}{3},
\int_{0}^{\pi/3}\sin\varphi\,d\varphi =\bigl[-\cos\varphi\bigr]_{0}^{\pi/3} =1-\tfrac12 =\tfrac12.

Passo 4

Agora reunimos tudo:
V_{1} = \Bigl(\int_{0}^{2\pi}d\theta\Bigr)\, \Bigl(\tfrac{19}{3}\Bigr)\, \Bigl(\tfrac12\Bigr) =2\pi\cdot\frac{19}{3}\cdot\frac12 =\frac{19\pi}{3}.

Passo 5

Para W_{2} (abaixo do cone, \varphi\in[\pi/3,\pi]), podemos ou repetir o cálculo de \int_{\pi/3}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi=3/2, ou usar que o volume total da casca esférica é
\frac{4\pi}{3}(3^{3}-2^{3}) =\frac{4\pi}{3}\cdot19 =\frac{76\pi}{3},
e subtrair V_{1}. Assim,
V_{2} =\frac{76\pi}{3}-\frac{19\pi}{3} =\frac{57\pi}{3} =19\pi.

Resposta

V_{1}=\dfrac{19\pi}{3},\quad V_{2}=19\pi.

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