Qual o número mínimo de medidas de velocidade que precisamos para saber se ele está em rotação de corpo sólido?

Passo 1

O que o enunciado pede: “Qual o número mínimo de medidas de velocidade que precisamos para saber se ele está em rotação de corpo sólido?”\n
Informações do enunciado / figura (peguei da imagem): há um campo de velocidades bidimensional com linhas de corrente circulares concêntricas centradas no mesmo ponto (o centro está marcado na figura). As setas indicam velocidades tangenciais a essas circunferências. As posições onde medimos a velocidade são conhecidas (posições (x,y) dos pontos de medição).\n
O que precisamos decidir: o número mínimo de medições de velocidade (cada medição fornece o vetor velocidade naquele ponto, isto é, duas componentes) necessárias para determinar se o campo é realmente uma rotação de corpo rígido (corpo sólido).

Passo 2

Modelo matemático de rotação de corpo rígido (aula curta):\n
  • Em rotação rígida bidimensional em torno de um eixo perpendicular ao plano, a velocidade em um ponto \mathbf{r}=(x,y) em relação ao centro de rotação \mathbf{c}=(c_x,c_y) é dada por
\mathbf{v}(\mathbf{r})=\omega\,\mathbf{k}\times(\mathbf{r}-\mathbf{c}),
onde \omega é a velocidade angular (escalar) e \mathbf{k} é o versor fora do plano.\n
  • Em componentes (usando \mathbf{k}\times(x,y)=(-y,x)):
v_x=-\omega\,(y-c_y),
v_y=\omega\,(x-c_x).
Explicando as variáveis: \omega mede a velocidade angular (rad/s); (c_x,c_y) é o centro da rotação; (x,y) é a posição onde medimos; v_x,v_y são as componentes da velocidade medida.

Passo 3

Contagem de incógnitas e equações (argumento-chave):\n
  • Incógnitas que definem completamente uma rotação rígida desconhecida: o centro \mathbf{c}=(c_x,c_y) (2 incógnitas) e a velocidade angular \omega (1 incógnita). Total: 3 incógnitas.\n
  • Cada medição de velocidade num ponto fornece duas informações escalares: v_x e v_y. Portanto, N medições fornecem 2N equações escalares.\n
  • Para ter informação suficiente para determinar as 3 incógnitas precisamos de pelo menos
2N \ge 3 \quad\Rightarrow\quad N \ge \frac{3}{2}.
Como N é inteiro, o menor N possível é N=2.

Passo 4

Como usar duas medições na prática (mostrando que N=2 funciona):\n
Se medirmos os vetores velocidade \mathbf{v}_1=(v_{x1},v_{y1}) em \mathbf{r}_1=(x_1,y_1) e \mathbf{v}_2=(v_{x2},v_{y2}) em \mathbf{r}_2=(x_2,y_2), as equações são (para i=1,2):
v_{xi}=-\omega\,(y_i-c_y),
v_{yi}=\omega\,(x_i-c_x).
Reescrevendo para c_x,c_y:
c_x = x_i - \frac{v_{yi}}{\omega},\qquad c_y = y_i + \frac{v_{xi}}{\omega}.
Igualando as expressões obtidas a partir de i=1 e i=2 elimina c_x,c_y e dá uma expressão para \omega. Por exemplo:
x_1 - \frac{v_{y1}}{\omega} = x_2 - \frac{v_{y2}}{\omega} \quad\Rightarrow\quad \omega = \frac{v_{y2}-v_{y1}}{x_2-x_1},
desde que x_2\ne x_1. Se x_2=x_1 usa-se a fórmula equivalente pela componente v_x:
-\frac{v_{x2}-v_{x1}}{y_2-y_1}=\omega.
Uma vez obtido \omega, calcula-se c_x,c_y por qualquer uma das fórmulas acima e verifica-se consistência nas quatro equações. Se as equações não forem satisfeitas (dentro de erro experimental), o campo não é rotação rígida.\n
Observações sobre casos degenerados: pontos coincidentes ou pontos com posições que tornam as fórmulas singulares exigem escolher outros pontos; se ambas medições resultarem em \mathbf{v}=\mathbf{0} não se consegue inferir \omega nem o centro — são casos degenerados. Em prática, por causa de ruído experimental, costuma-se medir >2 pontos e ajustar por mínimos quadrados.

Passo 5

Caso especial útil: se o centro de rotação \mathbf{c} já for conhecido (pela figura ou pela geometria), então a única incógnita é \omega. Nesse caso uma única medição vetorial (não nula) em um ponto fora do centro fornece \omega por
\omega = \frac{v_y}{x-c_x} = -\frac{v_x}{y-c_y},
e portanto N=1 é suficiente (desde que o ponto não esteja no centro).

Resposta

2 (ou 1 se o centro de rotação for conhecido)

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