Qual o número mínimo de medidas de velocidade que precisamos para saber se ele está em rotação de corpo sólido?
Passo 1
O que o enunciado pede: “Qual o número mínimo de medidas de velocidade que precisamos para saber se ele está em rotação de corpo sólido?”\n
Informações do enunciado / figura (peguei da imagem): há um campo de velocidades bidimensional com linhas de corrente circulares concêntricas centradas no mesmo ponto (o centro está marcado na figura). As setas indicam velocidades tangenciais a essas circunferências. As posições onde medimos a velocidade são conhecidas (posições dos pontos de medição).\n
O que precisamos decidir: o número mínimo de medições de velocidade (cada medição fornece o vetor velocidade naquele ponto, isto é, duas componentes) necessárias para determinar se o campo é realmente uma rotação de corpo rígido (corpo sólido).
Informações do enunciado / figura (peguei da imagem): há um campo de velocidades bidimensional com linhas de corrente circulares concêntricas centradas no mesmo ponto (o centro está marcado na figura). As setas indicam velocidades tangenciais a essas circunferências. As posições onde medimos a velocidade são conhecidas (posições
O que precisamos decidir: o número mínimo de medições de velocidade (cada medição fornece o vetor velocidade naquele ponto, isto é, duas componentes) necessárias para determinar se o campo é realmente uma rotação de corpo rígido (corpo sólido).
Passo 2
Modelo matemático de rotação de corpo rígido (aula curta):\n
- Em rotação rígida bidimensional em torno de um eixo perpendicular ao plano, a velocidade em um ponto
em relação ao centro de rotação é dada por
onde
é a velocidade angular (escalar) e
é o versor fora do plano.\n
- Em componentes (usando
):
Explicando as variáveis:
mede a velocidade angular (rad/s);
é o centro da rotação;
é a posição onde medimos;
são as componentes da velocidade medida.
Passo 3
Contagem de incógnitas e equações (argumento-chave):\n
- Incógnitas que definem completamente uma rotação rígida desconhecida: o centro
(2 incógnitas) e a velocidade angular (1 incógnita). Total: incógnitas.\n - Cada medição de velocidade num ponto fornece duas informações escalares:
e . Portanto, medições fornecem equações escalares.\n - Para ter informação suficiente para determinar as
incógnitas precisamos de pelo menos
Como
é inteiro, o menor
possível é
.
Passo 4
Como usar duas medições na prática (mostrando que
funciona):\n
Se medirmos os vetores velocidade em
e
em
, as equações são (para
):
Se medirmos os vetores velocidade
Reescrevendo para
:
Igualando as expressões obtidas a partir de
e
elimina
e dá uma expressão para
. Por exemplo:
desde que
. Se
usa-se a fórmula equivalente pela componente
:
Uma vez obtido
, calcula-se
por qualquer uma das fórmulas acima e verifica-se consistência nas quatro equações. Se as equações não forem satisfeitas (dentro de erro experimental), o campo não é rotação rígida.\n
Observações sobre casos degenerados: pontos coincidentes ou pontos com posições que tornam as fórmulas singulares exigem escolher outros pontos; se ambas medições resultarem em não se consegue inferir
nem o centro — são casos degenerados. Em prática, por causa de ruído experimental, costuma-se medir
pontos e ajustar por mínimos quadrados.
Observações sobre casos degenerados: pontos coincidentes ou pontos com posições que tornam as fórmulas singulares exigem escolher outros pontos; se ambas medições resultarem em
Passo 5
Caso especial útil: se o centro de rotação
já for conhecido (pela figura ou pela geometria), então a única incógnita é
. Nesse caso uma única medição vetorial (não nula) em um ponto fora do centro fornece
por
e portanto
é suficiente (desde que o ponto não esteja no centro).