Calcule o W [f, g](x), onde
f(x)=e^-3 x cos (2 x), g(x)=e^-3 x sin (2 x)

Passo 1

O enunciado pede o Wronskiano W[f,g](x) das funções
f(x)=e^-3xcos(2x), g(x)=e^-3xsin(2x)
O conteúdo aqui é derivação de funções do tipo e^ax vezes função trigonométrica e uso da definição
W[f,g](x)= f(x) & g(x)[6pt] f'(x) & g'(x) = f(x),g'(x)-f'(x),g(x) ]

Passo 2

Calculamos as derivadas usando a regra do produto e a cadeia:
f'(x) =ddxl(e^-3xr)cos(2x) +e^-3xddxl(cos(2x)r) =e^-3xl(-3cos(2x)r)+e^-3xl(-2sin(2x)r) =e^-3xl(-3cos(2x)-2sin(2x)r),
g'(x) =ddxl(e^-3xr)sin(2x) +e^-3xddxl(sin(2x)r) =e^-3xl(-3sin(2x)r)+e^-3xl(2cos(2x)r) =e^-3xl(-3sin(2x)+2cos(2x)r)

Passo 3

Substituímos em
W[f,g](x) =f(x),g'(x)-f'(x),g(x)
Como cada termo tem fator e^-3x, obtemos
W[f,g](x) =e^-3xcos(2x)cdot e^-3xl(-3sin(2x)+2cos(2x)r) -;e^-3xl(-3cos(2x)-2sin(2x)r)cdot e^-3xsin(2x)
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W[f,g](x) =e^-6xl[cos(2x)(-3sin(2x)+2cos(2x)) -(-3cos(2x)-2sin(2x))sin(2x)r]

Passo 4

No colchete, distribuindo e cancelando termos,
cos(2x)(-3sin(2x)+2cos(2x)) -(-3cos(2x)-2sin(2x))sin(2x) =-3cossin+2cos^2+3cossin+2sin^2 =2(cos^2(2x)+sin^2(2x))=2
Portanto
W[f,g](x)=2,e^-6x

Resposta

W[f,g](x)=2e^-6x

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