Calcule o W [f, g](x), onde
f(x)=e^-x, g(x)=x e^-x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o Wronskiano das funções
f(x)=e^-x e g(x)=x,e^-x.
O conteúdo envolvido é o cálculo de derivadas e a definição de Wronskiano, que se baseia no determinante de uma matriz 2times2.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas de cada função:
Para f(x)=e^-x, pela regra da cadeia,
f'(x) = -e^-x
Para g(x)=x,e^-x, pela regra do produto,
g'(x) = ddx(x),e^-x + x,ddx(e^-x) = 1cdot e^-x + xcdot(-e^-x) = (1-x),e^-x

Passo 3

A definição do Wronskiano é
W[f,g](x) = f(x) & g(x) f'(x) & g'(x) = f(x),g'(x) ;-; f'(x),g(x)

Passo 4

Substituindo as funções e suas derivadas:
f(x),g'(x) = e^-x,(1-x),e^-x = (1-x),e^-2x,
f'(x),g(x) = l(-e^-xr),l(x,e^-xr) = -x,e^-2x
Logo,
W[f,g](x) = (1-x),e^-2x ;-; l(-x,e^-2xr) = (1-x+x),e^-2x = e^-2x

Resposta

W[f,g](x) = e^-2x

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