Calcule o W [f, g](x), onde
f(x)=e^m x, g(x)=e^n x, m neq n

Passo 1

Resumo do enunciado: calcular o Wronskiano
W[f,g](x)
onde
f(x)=e^m x, g(x)=e^n x, mneq n
Conteúdo da matéria: derivadas de funções exponenciais e determinante 2×2 (Wronskiano).
O que precisamos:
  1. Saber que ddxe^a x=a,e^a x
  2. A fórmula do Wronskiano para duas funções f,g:
W[f,g](x) = det f(x) & g(x) f'(x) & g'(x) = f(x),g'(x)-f'(x),g(x)

Passo 2

Calcular as derivadas de f e g.
Usando ddxe^a x=a,e^a x:
f'(x)=ddxe^m x=m,e^m x, g'(x)=ddxe^n x=n,e^n x

Passo 3

Aplicar a definição do Wronskiano:
W[f,g](x) = f(x),g'(x)-f'(x),g(x)
Substituindo f,f',g,g':
W[f,g](x) = e^m xcdotl(n,e^n xr) - l(m,e^m xr)cdot e^n x = n,e^(m+n)x-m,e^(m+n)x
Agora é só fatorar e^(m+n)x:
W[f,g](x) = l(n-mr),e^(m+n)x

Resposta

boxedW[f,g](x)=(n-m),e^(m+n)x

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