Calcule o Wronskiano dos seguintes pares de funções:
\cos 3 t, \operatorname{sen} 3 t.

Passo 1

O enunciado pede que calculemos o Wronskiano do par de funções \cos 3t e \operatorname{sen} 3t.
Informações fornecidas: as duas funções são \cos 3t e \sin 3t (uso \sin em TeX).
Objetivo direto: obter uma expressão para o Wronskiano W(t) dessas duas funções, como função de t e, se possível, simplificá‑la.

Passo 2

Definição do Wronskiano (aula rápida e prática): para duas funções y_1(t) e y_2(t), o Wronskiano W(t) é o determinante da matriz formada por elas e suas derivadas:
W(t)=\begin{vmatrix} y_1(t) & y_2(t)\\[4pt] y_1'(t) & y_2'(t) \end{vmatrix}
Isto significa que calculamos y_1'(t) e y_2'(t), colocamos na segunda linha e calculamos o determinante y_1(t)\,y_2'(t)-y_2(t)\,y_1'(t). É só isso — pensar no Wronskiano como uma medida (determinante) que mistura as funções e suas derivadas.]

Passo 3

Calcular as derivadas usando a regra da cadeia (mini‑aula): se u(t)=3t, então \frac{d}{dt}\cos(u(t))=-u'(t)\sin(u(t)) e \frac{d}{dt}\sin(u(t))=u'(t)\cos(u(t)). Aqui u'(t)=3.
Portanto:
\frac{d}{dt}\bigl(\cos 3t\bigr) = -3\sin 3t, \qquad \frac{d}{dt}\bigl(\sin 3t\bigr) = 3\cos 3t.
Expliquei a regra da cadeia porque em prova muitas pessoas esquecem o fator 3 vindo de u'(t).

Passo 4

Montamos o determinante do Wronskiano substituindo as funções e suas derivadas:
W(t)=\begin{vmatrix} \cos 3t & \sin 3t\\[4pt] -3\sin 3t & 3\cos 3t \end{vmatrix}.
Agora aplicamos a fórmula do determinante ad-bc.]

Passo 5

Calculando o determinante:
W(t)=\cos 3t\cdot(3\cos 3t)-\sin 3t\cdot(-3\sin 3t).
Simplificando os sinais e fatorando 3:
W(t)=3\cos^2 3t + 3\sin^2 3t = 3\bigl(\cos^2 3t + \sin^2 3t\bigr).
Usamos a identidade trigonométrica fundamental \cos^2 x+\sin^2 x=1. Assim obtemos:

Passo 6

Aplicando \cos^2 3t+\sin^2 3t=1, concluímos que
W(t)=3\cdot 1 = 3.
Comentário amigo: repare que o Wronskiano é constante e igual a 3 para todo t. Isso indica que \cos 3t e \sin 3t são linearmente independentes (útil em equações diferenciais), mas o que valia aqui era só calcular o determinante — fizemos passo a passo para você lembrar da regra da cadeia e da identidade trigonométrica.

Resposta

3

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