Considere a EDO y^{\prime \prime}(t)-4 y(t)=e^{2 t}+ sent. (1)
(a) Mostre que \psi(t)=\frac{t}{4} e^{2 t}-\frac{1}{5} sent é solução da EDO (1).
(b) Determine a solução do Problema de Valor Inicial
As informações relevantes: a função \psi(t)\] fornecida e os dados iniciais \(y(0)=0, y'(0)=-1. A resolução começa verificando (a) e depois usa \psi para construir a solução geral e aplicar as condições iniciais.]
Passo 2
Vou calcular \psi'(t). Relembre a regra do produto: se u(t)v(t) é produto, (uv)'=u'v+uv'. Aqui \psi(t)=\dfrac{t}{4}e^{2t}-\dfrac{1}{5}\sin t é soma de dois termos.
Para o primeiro termo u(t)=\dfrac{t}{4} e v(t)=e^{2t}. Então u'(t)=\dfrac{1}{4} e v'(t)=2e^{2t}. Assim
O segundo termo -\dfrac{1}{5}\sin t tem derivada -\dfrac{1}{5}\cos t. Portanto
\psi'(t)=e^{2t}\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{t}{2}\right)-\dfrac{1}{5}\cos t.
Passo 3
Agora calculo \psi''(t) diferenciando \psi'(t). Para a parte exponencial escrevo a(t)=\dfrac{1+2t}{4} (pois \dfrac{1}{4}+\dfrac{t}{2}=\dfrac{1+2t}{4}). Logo a parte exponencial é a(t)e^{2t} com a'(t)=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}. Aplicando a regra do produto:
Resolvendo o sistema (1)-(2). Da (1) C_2=-C_1. Substituindo em (2):
2C_1-2(-C_1)=4C_1=-\dfrac{21}{20}.
Então
C_1=-\dfrac{21}{80}.
E C_2=-C_1=\dfrac{21}{80}.
Passo 9
Substituo C_1,C_2 na solução geral. Assim a solução do IVP é
y(t)=-\dfrac{21}{80}e^{2t}+\dfrac{21}{80}e^{-2t}+\dfrac{t}{4}e^{2t}-\dfrac{1}{5}\sin t.
Podemos agrupar os termos em e^{2t} se quisermos:
y(t)=\Big(\dfrac{t}{4}-\dfrac{21}{80}\Big)e^{2t}+\dfrac{21}{80}e^{-2t}-\dfrac{1}{5}\sin t.
Resposta
(a) \psi(t)=\dfrac{t}{4}e^{2t}-\dfrac{1}{5}\sin t é solução da EDO, pois \psi''(t)-4\psi(t)=e^{2t}+\sin t.\n
(b) \displaystyle y(t)=-\dfrac{21}{80}e^{2t}+\dfrac{21}{80}e^{-2t}+\dfrac{t}{4}e^{2t}-\dfrac{1}{5}\sin t.