Considere a EDO y^{\prime \prime}(t)-4 y(t)=e^{2 t}+ sent. (1)
(a) Mostre que \psi(t)=\frac{t}{4} e^{2 t}-\frac{1}{5} sent é solução da EDO (1).
(b) Determine a solução do Problema de Valor Inicial
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}(t)-4 y(t)=e^{2 t}+\text { sent } \\ y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=-1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a EDO
y''(t)-4y(t)=e^{2t}+\text{sent}
Eu interpreto o símbolo “sent” como \sin t\) (isto é comum em português: "sen t" = \(\sin t\)). Portanto a EDO é \[y''(t)-4y(t)=e^{2t}+\sin t.
Pede-se:
  1. Mostrar que \psi(t)=\dfrac{t}{4}e^{2t}-\dfrac{1}{5}\sin t é solução da EDO.
  2. Determinar a solução do Problema de Valor Inicial
\begin{cases} y''(t)-4y(t)=e^{2t}+\sin t,\\[4pt] y(0)=0,\quad y'(0)=-1. \end{cases}
As informações relevantes: a função \psi(t)\] fornecida e os dados iniciais \(y(0)=0, y'(0)=-1. A resolução começa verificando (a) e depois usa \psi para construir a solução geral e aplicar as condições iniciais.]

Passo 2

Vou calcular \psi'(t). Relembre a regra do produto: se u(t)v(t) é produto, (uv)'=u'v+uv'. Aqui \psi(t)=\dfrac{t}{4}e^{2t}-\dfrac{1}{5}\sin t é soma de dois termos.
Para o primeiro termo u(t)=\dfrac{t}{4} e v(t)=e^{2t}. Então u'(t)=\dfrac{1}{4} e v'(t)=2e^{2t}. Assim
\left(\dfrac{t}{4}e^{2t}\right)'=\dfrac{1}{4}e^{2t}+\dfrac{t}{4}\cdot 2e^{2t}=e^{2t}\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{t}{2}\right).
O segundo termo -\dfrac{1}{5}\sin t tem derivada -\dfrac{1}{5}\cos t. Portanto
\psi'(t)=e^{2t}\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{t}{2}\right)-\dfrac{1}{5}\cos t.

Passo 3

Agora calculo \psi''(t) diferenciando \psi'(t). Para a parte exponencial escrevo a(t)=\dfrac{1+2t}{4} (pois \dfrac{1}{4}+\dfrac{t}{2}=\dfrac{1+2t}{4}). Logo a parte exponencial é a(t)e^{2t} com a'(t)=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}. Aplicando a regra do produto:
\big(a(t)e^{2t}\big)'=a'(t)e^{2t}+a(t)\cdot 2e^{2t}=e^{2t}\Big(\dfrac{1}{2}+2\cdot\dfrac{1+2t}{4}\Big).
Simplificando o parêntese:
\dfrac{1}{2}+2\cdot\dfrac{1+2t}{4}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1+2t}{2}=\dfrac{2+2t}{2}=1+t.
A derivada de -\dfrac{1}{5}\cos t é +\dfrac{1}{5}\sin t. Portanto
\psi''(t)=e^{2t}(1+t)+\dfrac{1}{5}\sin t.

Passo 4

Substituo \psi em y''-4y para verificar se dá e^{2t}+\sin t.
Calculo
\psi''(t)-4\psi(t)=\big[e^{2t}(1+t)+\dfrac{1}{5}\sin t\big]-4\big[\dfrac{t}{4}e^{2t}-\dfrac{1}{5}\sin t\big].
Distribuindo o -4:
\psi''(t)-4\psi(t)=e^{2t}(1+t)+\dfrac{1}{5}\sin t - t e^{2t} + \dfrac{4}{5}\sin t.
Agrupando os termos exponenciais e os termos de seno:
\psi''(t)-4\psi(t)=e^{2t}(1+t-t)+\Big(\dfrac{1}{5}+\dfrac{4}{5}\Big)\sin t = e^{2t} + 1\cdot \sin t.
Logo
\psi''(t)-4\psi(t)=e^{2t}+\sin t,
que é exatamente o lado direito da EDO. Conclusão: \psi(t)=\dfrac{t}{4}e^{2t}-\dfrac{1}{5}\sin t é solução da EDO, como pedido em (a).

Passo 5

Para resolver o IVP, primeiro encontro a solução geral da EDO. A equação homogênea é
y''-4y=0.
A equação característica é r^2-4=0, com raízes r=\pm 2. Portanto a solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_1 e^{2t}+C_2 e^{-2t},
onde C_1,C_2 são constantes. Como já verificamos que \psi(t) é uma solução particular da não-homogênea, a solução geral da não-homogênea é
y(t)=y_h(t)+\psi(t)=C_1 e^{2t}+C_2 e^{-2t}+\dfrac{t}{4}e^{2t}-\dfrac{1}{5}\sin t.

Passo 6

Agora uso as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.
Calculo primeiro \psi(0) e \psi'(0) para facilitar:
\psi(0)=\dfrac{0}{4}e^{0}-\dfrac{1}{5}\sin 0=0-0=0.
Da Passo 2 temos \psi'(t)=e^{2t}\big(\dfrac{1}{4}+\dfrac{t}{2}\big)-\dfrac{1}{5}\cos t. Logo
\psi'(0)=e^{0}\Big(\dfrac{1}{4}+\dfrac{0}{2}\Big)-\dfrac{1}{5}\cos 0=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{20}.

Passo 7

Escrevo y(0) e y'(0) em função de C_1,C_2.
Temos
y(0)=C_1 + C_2 + \psi(0)=C_1+C_2+0.
A condição y(0)=0
C_1+C_2=0. \tag{1}
Agora y'(t)=2C_1 e^{2t}-2C_2 e^{-2t}+\psi'(t). Assim
y'(0)=2C_1-2C_2+\psi'(0)=2C_1-2C_2+\dfrac{1}{20}.
A condição y'(0)=-1
2C_1-2C_2+\dfrac{1}{20}=-1.
Isolando os termos com C_1,C_2:
2C_1-2C_2=-1-\dfrac{1}{20}=-\dfrac{21}{20}. \tag{2}

Passo 8

Resolvendo o sistema (1)-(2). Da (1) C_2=-C_1. Substituindo em (2):
2C_1-2(-C_1)=4C_1=-\dfrac{21}{20}.
Então
C_1=-\dfrac{21}{80}.
E C_2=-C_1=\dfrac{21}{80}.

Passo 9

Substituo C_1,C_2 na solução geral. Assim a solução do IVP é
y(t)=-\dfrac{21}{80}e^{2t}+\dfrac{21}{80}e^{-2t}+\dfrac{t}{4}e^{2t}-\dfrac{1}{5}\sin t.
Podemos agrupar os termos em e^{2t} se quisermos:
y(t)=\Big(\dfrac{t}{4}-\dfrac{21}{80}\Big)e^{2t}+\dfrac{21}{80}e^{-2t}-\dfrac{1}{5}\sin t.

Resposta

(a) \psi(t)=\dfrac{t}{4}e^{2t}-\dfrac{1}{5}\sin t é solução da EDO, pois \psi''(t)-4\psi(t)=e^{2t}+\sin t.\n
(b) \displaystyle y(t)=-\dfrac{21}{80}e^{2t}+\dfrac{21}{80}e^{-2t}+\dfrac{t}{4}e^{2t}-\dfrac{1}{5}\sin t.

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