Determine se o vértice das funções abaixo representa um máximo ou um mínimo:
f(x)=-3 x^{2}+9 x-5

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o vértice da função f(x)=-3x^{2}+9x-5 representa um máximo ou um mínimo. Informações fornecidas:
  • A função é um polinômio quadrático da forma ax^{2}+bx+c.
  • Aqui a=-3, b=9 e c=-5.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): uma parábola dada por f(x)=ax^{2}+bx+c tem concavidade determinada pelo sinal de a:
  • Se a>0, a parábola abre para cima e o vértice é um mínimo.
  • Se a<0, a parábola abre para baixo e o vértice é um máximo.
    Isto acontece porque o termo ax^{2} domina para |x| grandes e faz f(x)\to+\infty quando a>0 e f(x)\to-\infty quando a<0.
Aplicando ao caso: a=-3<0. Assim já sabemos, pela concavidade, que o vértice será um máximo. Vou agora calcular também as coordenadas do vértice para confirmar e mostrar como fazer isso passo a passo (útil para a prova).

Passo 3

Método: completar o quadrado para escrever f na forma canônica f(x)=a(x-h)^{2}+k, onde (h,k) é o vértice. Começando por:
f(x)=-3x^{2}+9x-5.
Faturo -3 dos dois primeiros termos:
f(x)=-3\bigl(x^{2}-3x\bigr)-5.
Agora completo o quadrado dentro do parênteses. Para x^{2}-3x, o termo que completa o quadrado é \left(\dfrac{3}{2}\right)^{2}=\dfrac{9}{4}. Então
x^{2}-3x=\bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}-\tfrac{9}{4}.

Passo 4

Substituo de volta:
f(x)=-3\Bigl(\bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}-\tfrac{9}{4}\Bigr)-5.
Distribuo o -3:
f(x)=-3\bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}+3\cdot\tfrac{9}{4}-5.
Calculo 3\cdot\tfrac{9}{4}=\tfrac{27}{4} e faço a subtração com -5 (escrevendo -5=\!- \tfrac{20}{4}):
f(x)=-3\bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}+\tfrac{27}{4}-\tfrac{20}{4} =-3\bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}+\tfrac{7}{4}.

Passo 5

Interpretação: a forma canônica é
f(x)=-3\bigl(x-\tfrac{3}{2}\bigr)^{2}+\tfrac{7}{4},
logo o vértice é \bigl(\tfrac{3}{2},\tfrac{7}{4}\bigr). Como o coeficiente de (x-h)^{2} é -3<0, a parábola abre para baixo e o vértice é um ponto de máximo. (Observação útil: a abscissa do vértice também pode ser obtida pela fórmula h=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{9}{2(-3)}=\tfrac{3}{2}, dando o mesmo resultado.)

Passo 6

Conclusão final e incentivo: portanto o vértice é um máximo e seu valor máximo da função é f\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)=\tfrac{7}{4}. Vai dar tudo certo na prova — decorar o teste do sinal de a e a técnica de completar o quadrado salva tempo.

Resposta

O vértice é um máximo; vértice em \left(\dfrac{3}{2},\dfrac{7}{4}\right).

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