Calcule x, y e z, sabendo que x+y+z=48.
Passo 1
O enunciado pede: calcular
,
e
sabendo que
Informações dadas:
- Há apenas uma equação:
. - O enunciado não impõe outras restrições (por exemplo: se
são números reais, inteiros, não negativos, iguais entre si, etc.).
Não há mais dados fornecidos.
Passo 2
Entendendo o que isso significa (sem resolver ainda): uma única equação com três incógnitas não determina valores únicos para as três incógnitas. Em termos simples:
- Uma equação linear em três incógnitas dá liberdade para escolher duas variáveis à vontade; a terceira fica determinada por essas escolhas.
- Portanto, há infinitas soluções (no caso de números reais) — precisamos de condições extras para obter uma solução única.
Passo 3
Como escrever a solução geral (método prático que funciona na prova):
- Escolhemos duas variáveis como “parâmetros livres” (por exemplo
e ) e expressamos a terceira em função delas. - A partir de
isolamos :
- Assim a solução geral é:
onde
e
podem ser quaisquer números (reais) se nada mais for especificado.
Passo 4
Exemplos concretos para fixar a ideia (faça isso na prova se quiser dar uma solução numérica qualquer):
- Se eu escolher
e , então
logo
é uma solução.
- Se eu escolher
e , então e é solução. - Se eu escolher
e , então e é solução.
Passo 5
Caso especial que dá solução única: se houver a condição extra
(ou seja, as três variáveis são iguais), então podemos resolver:
- Se
, então . - Isolando
:
- Então
. Isso mostra como uma condição adicional transforma infinitas soluções em uma única.
Passo 6
Se as variáveis forem inteiros não negativos (ou seja,
), podemos contar quantas soluções existem usando o método “estrelas e barras”:
- O número de soluções inteiras não negativas de
é
- Calculando
:
- Portanto há
soluções com inteiros não negativos.
Passo 7
Se as variáveis forem inteiros estritamente positivos (ou seja,
), ajustamos tirando 1 de cada variável: defina
,
,
; então
com
. O número de soluções é
- Calculando
:
- Portanto há
soluções com inteiros positivos.
Passo 8
Resumo rápido do que fazer numa prova:
- Se só te der
sem mais restrições: escreva a solução geral e, se desejarem um exemplo, dê qualquer par e calcule . - Se aparecerem restrições (igualdade entre variáveis, inteiros, não negativos, positivos), aplique os passos mostrados: isolar ou usar transformação e (se forem inteiros) o princípio de “estrelas e barras”.
Resposta
Se
Número de soluções com
Número de soluções com