Calcule x, y e z, sabendo que x+y+z=48.

Passo 1

O enunciado pede: calcular x, y e z sabendo que
x+y+z=48.
Informações dadas:
  • Há apenas uma equação: \;x+y+z=48.
  • O enunciado não impõe outras restrições (por exemplo: se x,y,z são números reais, inteiros, não negativos, iguais entre si, etc.).
    Não há mais dados fornecidos.

Passo 2

Entendendo o que isso significa (sem resolver ainda): uma única equação com três incógnitas não determina valores únicos para as três incógnitas. Em termos simples:
  • Uma equação linear em três incógnitas dá liberdade para escolher duas variáveis à vontade; a terceira fica determinada por essas escolhas.
  • Portanto, há infinitas soluções (no caso de números reais) — precisamos de condições extras para obter uma solução única.

Passo 3

Como escrever a solução geral (método prático que funciona na prova):
  • Escolhemos duas variáveis como “parâmetros livres” (por exemplo x e y) e expressamos a terceira em função delas.
  • A partir de \;x+y+z=48 isolamos z:
z = 48 - x - y.
  • Assim a solução geral é:
(x,y,z) = \bigl(x,\,y,\,48-x-y\bigr),
onde x e y podem ser quaisquer números (reais) se nada mais for especificado.

Passo 4

Exemplos concretos para fixar a ideia (faça isso na prova se quiser dar uma solução numérica qualquer):
  • Se eu escolher x=10 e y=15, então
z = 48 - 10 - 15 = 23,
logo (x,y,z)=(10,15,23) é uma solução.
  • Se eu escolher x=0 e y=0, então z=48 e (0,0,48) é solução.
  • Se eu escolher x=20 e y=20, então z=8 e (20,20,8) é solução.

Passo 5

Caso especial que dá solução única: se houver a condição extra x=y=z (ou seja, as três variáveis são iguais), então podemos resolver:
  • Se x=y=z, então 3x=48.
  • Isolando x:
x = \frac{48}{3} = 16.
  • Então x=y=z=16. Isso mostra como uma condição adicional transforma infinitas soluções em uma única.

Passo 6

Se as variáveis forem inteiros não negativos (ou seja, x,y,z\in\mathbb{Z}_{\ge0}), podemos contar quantas soluções existem usando o método “estrelas e barras”:
  • O número de soluções inteiras não negativas de \;x+y+z=48 é
\binom{48+3-1}{3-1}=\binom{50}{2}.
  • Calculando \binom{50}{2}:
\binom{50}{2}=\frac{50\cdot 49}{2}=25\cdot 49=1225.
  • Portanto há 1225 soluções com inteiros não negativos.

Passo 7

Se as variáveis forem inteiros estritamente positivos (ou seja, x,y,z\in\mathbb{Z}_{\ge1}), ajustamos tirando 1 de cada variável: defina x'=x-1, y'=y-1, z'=z-1; então x'+y'+z'=48-3=45 com x',y',z'\ge0. O número de soluções é
\binom{45+3-1}{3-1}=\binom{47}{2}.
  • Calculando \binom{47}{2}:
\binom{47}{2}=\frac{47\cdot 46}{2}=47\cdot 23=1081.
  • Portanto há 1081 soluções com inteiros positivos.

Passo 8

Resumo rápido do que fazer numa prova:
  • Se só te der x+y+z=48 sem mais restrições: escreva a solução geral (x,y,48-x-y) e, se desejarem um exemplo, dê qualquer par (x,y) e calcule z.
  • Se aparecerem restrições (igualdade entre variáveis, inteiros, não negativos, positivos), aplique os passos mostrados: isolar ou usar transformação e (se forem inteiros) o princípio de “estrelas e barras”.

Resposta

(x,y,z)=(x,\,y,\,48-x-y) (solução geral, x,y livres, caso real).
Se x=y=z: x=y=z=16.
Número de soluções com x,y,z\in\mathbb{Z}_{\ge0}: \binom{50}{2}=1225.
Número de soluções com x,y,z\in\mathbb{Z}_{\ge1}: \binom{47}{2}=1081.

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