1. Obtenha a área total, o volume, a diagonal do paralelepípedo retângulo cujas arestas medem 3 \mathrm{~cm}, 4 \mathrm{~cm}, 12 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre um paralelepípedo retângulo (caixa retangular) cujas arestas medem 3\\ \mathrm{cm}, 4\\ \mathrm{cm} e 12\\ \mathrm{cm}:
  • Obter a área total (área superficial total) do paralelepípedo.
  • Obter o volume do paralelepípedo.
  • Obter a diagonal espacial do paralelepípedo.
Informações dadas:
  • As arestas (comprimentos dos lados) são a=3\\ \mathrm{cm}, b=4\\ \mathrm{cm} e c=12\\ \mathrm{cm}.
Não inicio cálculos aqui — apenas identifiquei claramente o que o problema pede e os dados fornecidos.

Passo 2

Vamos definir claramente as fórmulas que vamos usar e explicar por que elas valem — passo a passo e com calma.
Primeiro, área total. Um paralelepípedo retângulo tem três pares de faces retangulares: faces com dimensões a\times b, a\times c e b\times c. Cada par tem duas faces iguais. Logo, a área total A_{\text{tot}} é a soma das áreas de todas as seis faces:
A_{\text{tot}} = 2(ab + ac + bc).
Explicação: ab é a área de uma face a\times b, e como existem duas dessas faces somamos 2ab; fazemos o mesmo para as outras duas dimensões.
Segundo, volume. O volume V de uma caixa retangular é o produto das três arestas:
V = abc.
Explicação: imagine preencher a caixa com camadas de área ab e altura c; o número de camadas vezes a área dá o volume, resultando no produto das três dimensões.
Terceiro, diagonal espacial. A diagonal d que liga vértices opostos satisfaz a generalização do teorema de Pitágoras em 3D: se primeiro considerarmos a diagonal da face a\times b, sua medida é \sqrt{a^2+b^2}; então a diagonal espacial satisfaz
d = \sqrt{(\text{diagonal da face})^2 + c^2} = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}.
Explicação: fazemos Pitágoras duas vezes: uma vez na face para obter a diagonal da face e outra vez no triângulo formado por essa diagonal e a aresta c.
Agora que as fórmulas estão claras e justificadas, aplicamos aos números.

Passo 3

Calculemos os produtos necessários para a área total:
  • ab = 3 \times 4. Vamos calcular: 3 \times 4 = 12.
    Portanto ab = 12 (unidade: \mathrm{cm}^2).
  • ac = 3 \times 12. Vamos calcular: 3 \times 12 = 36.
    Portanto ac = 36 ( \mathrm{cm}^2).
  • bc = 4 \times 12. Vamos calcular: 4 \times 12 = 48.
    Portanto bc = 48 ( \mathrm{cm}^2).
Some esses valores para usar na fórmula da área total:
ab + ac + bc = 12 + 36 + 48.

Passo 4

Somemos os números:
12 + 36 = 48,\qquad 48 + 48 = 96.
Logo ab + ac + bc = 96\\ \mathrm{cm}^2.
Agora aplicamos a fórmula da área total:
A_{\text{tot}} = 2(ab + ac + bc) = 2 \times 96 = 192.
Portanto a área total é 192\\ \mathrm{cm}^2.

Passo 5

Calculemos o volume usando V = abc:
V = 3 \times 4 \times 12.
Façamos em duas etapas: 3 \times 4 = 12, depois 12 \times 12 = 144.
Logo V = 144\\ \mathrm{cm}^3.
Explicação/chequinho: dimensões multiplicadas dão unidades de \mathrm{cm}^3, coerente com volume.

Passo 6

Agora a diagonal espacial d. Usamos a fórmula
d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}.
Substituindo a=3, b=4, c=12:
d = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2}.

Passo 7

Calculemos cada quadrado:
  • 3^2 = 9.
  • 4^2 = 16.
  • 12^2 = 144.
Some-os:
9 + 16 = 25,\qquad 25 + 144 = 169.
Portanto a^2 + b^2 + c^2 = 169.
Agora extraímos a raiz quadrada:
d = \sqrt{169} = 13.
Unidade: \mathrm{cm}. Observação legal: deu um inteiro, 13\\ \mathrm{cm}, porque 169 é um quadrado perfeito ( 13^2).

Passo 8

Verificação rápida das unidades e consistência:
  • Área total tem unidade \mathrm{cm}^2: obtivemos 192\\ \mathrm{cm}^2 — faz sentido.
  • Volume tem unidade \mathrm{cm}^3: obtivemos 144\\ \mathrm{cm}^3 — faz sentido.
  • Diagonal tem unidade \mathrm{cm}: obtivemos 13\\ \mathrm{cm} — faz sentido.
Pronto! Fizemos passo a passo, com justificativas e contas fáceis de reproduzir na prova.

Resposta

Área total: 192\\ \mathrm{cm}^2
Volume: 144\\ \mathrm{cm}^3
Diagonal: 13\\ \mathrm{cm}

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