- Obtenha a área total, o volume, a diagonal do paralelepípedo retângulo cujas arestas medem
.
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre um paralelepípedo retângulo (caixa retangular) cujas arestas medem
,
e
:
- Obter a área total (área superficial total) do paralelepípedo.
- Obter o volume do paralelepípedo.
- Obter a diagonal espacial do paralelepípedo.
Informações dadas:
- As arestas (comprimentos dos lados) são
, e .
Não inicio cálculos aqui — apenas identifiquei claramente o que o problema pede e os dados fornecidos.
Passo 2
Vamos definir claramente as fórmulas que vamos usar e explicar por que elas valem — passo a passo e com calma.
Primeiro, área total. Um paralelepípedo retângulo tem três pares de faces retangulares: faces com dimensões
,
e
. Cada par tem duas faces iguais. Logo, a área total
é a soma das áreas de todas as seis faces:
Explicação:
é a área de uma face
, e como existem duas dessas faces somamos
; fazemos o mesmo para as outras duas dimensões.
Segundo, volume. O volume
de uma caixa retangular é o produto das três arestas:
Explicação: imagine preencher a caixa com camadas de área
e altura
; o número de camadas vezes a área dá o volume, resultando no produto das três dimensões.
Terceiro, diagonal espacial. A diagonal
que liga vértices opostos satisfaz a generalização do teorema de Pitágoras em 3D: se primeiro considerarmos a diagonal da face
, sua medida é
; então a diagonal espacial satisfaz
Explicação: fazemos Pitágoras duas vezes: uma vez na face para obter a diagonal da face e outra vez no triângulo formado por essa diagonal e a aresta
.
Agora que as fórmulas estão claras e justificadas, aplicamos aos números.
Passo 3
Calculemos os produtos necessários para a área total:
-
. Vamos calcular: .
Portanto(unidade: ). -
. Vamos calcular: .
Portanto( ). -
. Vamos calcular: .
Portanto( ).
Some esses valores para usar na fórmula da área total:
Passo 4
Somemos os números:
Logo
.
Agora aplicamos a fórmula da área total:
Portanto a área total é
.
Passo 5
Calculemos o volume usando
:
Façamos em duas etapas:
, depois
.
Logo .
Logo
Explicação/chequinho: dimensões multiplicadas dão unidades de
, coerente com volume.
Passo 6
Agora a diagonal espacial
. Usamos a fórmula
Substituindo
,
,
:
Passo 7
Calculemos cada quadrado:
-
. -
. -
.
Some-os:
Portanto
.
Agora extraímos a raiz quadrada:
Unidade:
. Observação legal: deu um inteiro,
, porque
é um quadrado perfeito (
).
Passo 8
Verificação rápida das unidades e consistência:
- Área total tem unidade
: obtivemos — faz sentido. - Volume tem unidade
: obtivemos — faz sentido. - Diagonal tem unidade
: obtivemos — faz sentido.
Pronto! Fizemos passo a passo, com justificativas e contas fáceis de reproduzir na prova.
Resposta
Área total:
Volume:
Diagonal:
Volume:
Diagonal: