Cálculo da medida de cada ângulo interno de um polígono regular
[
a_{i}=\frac{180^{\circ}(n-2)}{n} onde, \mathrm{n}=número de lados do polígono regular
]
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a_{i}=\frac{180^{\circ}(n-2)}{n} onde, \mathrm{n}=número de lados do polígono regular
]
Passo 1
O problema pede para calcular a medida de cada ângulo interno de um polígono regular.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
- Foi dada a fórmula proposta
, onde é o número de lados do polígono regular. - Objetivo: mostrar por que essa fórmula vale (ou seja, derivá-la passo a passo) e aprender a usá-la para calcular
em exemplos concretos.
Passo 2
Entendendo os conceitos básicos — o que é um polígono regular e o que é ângulo interno.
- Um polígono é uma figura plana com vários lados.
- Um polígono é regular quando todos os lados têm o mesmo comprimento e todos os ângulos internos têm a mesma medida. Em um polígono regular, portanto, basta calcular a medida de um ângulo interno
para saber todos. - Ângulo interno: em cada vértice do polígono, o ângulo formado pelas duas arestas que se encontram ali é o ângulo interno.
Passo 3
Por que usar triângulos? (ideia-chave)
- Uma estratégia simples e clássica é dividir o polígono em triângulos, porque sabemos a soma dos ângulos de um triângulo:
. - Se conseguirmos escrever a área interna do polígono como a união de triângulos que não se sobrepõem e que cobrem todo o interior, podemos somar os ângulos desses triângulos para obter a soma dos ângulos internos do polígono.
Passo 4
Triangular a partir de um vértice e contar triângulos.
- Pegue um vértice qualquer do polígono regular e ligue esse vértice a todos os outros vértices não adjacentes formando diagonais.
- Cada diagonal que você traça, partindo do vértice escolhido, divide o polígono em triângulos que compartilham esse vértice.
- Quantos triângulos obtemos ao dividir o polígono de
lados dessa forma? O número de triângulos será . Por que isso? Pense: com vértices, ao fixar um vértice existem exatamente vértices não adjacentes aos quais traçamos diagonais, e contando o triângulo que usa os dois vértices adjacentes do vértice fixo, totalizam-se triângulos. Esse é um resultado padrão e fácil de visualizar com exemplos (triângulo dá triângulo, quadrado dá triângulos, pentágono dá triângulos).
Passo 5
Somando os ângulos dos triângulos para obter a soma dos ângulos internos do polígono.
- Cada triângulo tem soma dos ângulos igual a
. - Como existem
triângulos não sobrepostos, a soma de todos os ângulos internos do polígono é
- Essa é a fórmula clássica da soma dos ângulos internos de um polígono convexo com
lados.
Passo 6
Dividindo pela quantidade de ângulos para achar um ângulo interno em polígono regular.
- Em um polígono regular todos os
ângulos internos têm a mesma medida . - Logo, a soma dos ângulos internos também pode ser escrita como
. - Igualando as expressões da soma:
- Agora isole
dividindo ambos os lados por :
- Pronto — essa é a dedução completa da fórmula pedida. Cada passo usou apenas noções básicas (triângulos e soma de ângulos do triângulo) e uma contagem simples dos triângulos
.
Passo 7
Exemplos numéricos passo a passo para fixar a ideia (mostrando como calcular na prova sem calculadora):
Exemplo 1 — triângulo regular (
):
Substitua na fórmula:
Substitua
Portanto, cada ângulo interno do triângulo regular vale
.
Exemplo 2 — quadrado (
):
Exemplo 3 — pentágono regular (
):
Exemplo 4 — hexágono regular (
):
Passo 8
Observações úteis e dicas para a prova (truques e limites):
- Domínio: a fórmula só faz sentido para
(um polígono precisa ter pelo menos 3 lados). - Limite para polígonos com muitos lados: quando
, . Intuitivamente, polígonos com muitos lados têm ângulos internos próximos de uma linha reta. - Dica rápida para a prova: calcule
primeiro, multiplique por , depois divida por . Em muitos casos você consegue simplificar antes de multiplicar (por exemplo, dividir por cancelando fatores quando possível).