Cálculo da medida de cada ângulo interno de um polígono regular
[
a_{i}=\frac{180^{\circ}(n-2)}{n} onde, \mathrm{n}=número de lados do polígono regular
]

Passo 1

O problema pede para calcular a medida de cada ângulo interno de um polígono regular.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • Foi dada a fórmula proposta \;a_{i}=\frac{180^{\circ}(n-2)}{n}\;, onde \;n\; é o número de lados do polígono regular.
  • Objetivo: mostrar por que essa fórmula vale (ou seja, derivá-la passo a passo) e aprender a usá-la para calcular \;a_i\; em exemplos concretos.

Passo 2

Entendendo os conceitos básicos — o que é um polígono regular e o que é ângulo interno.
  • Um polígono é uma figura plana com vários lados.
  • Um polígono é regular quando todos os lados têm o mesmo comprimento e todos os ângulos internos têm a mesma medida. Em um polígono regular, portanto, basta calcular a medida de um ângulo interno \;a_i\; para saber todos.
  • Ângulo interno: em cada vértice do polígono, o ângulo formado pelas duas arestas que se encontram ali é o ângulo interno.

Passo 3

Por que usar triângulos? (ideia-chave)
  • Uma estratégia simples e clássica é dividir o polígono em triângulos, porque sabemos a soma dos ângulos de um triângulo: \;180^{\circ}.
  • Se conseguirmos escrever a área interna do polígono como a união de triângulos que não se sobrepõem e que cobrem todo o interior, podemos somar os ângulos desses triângulos para obter a soma dos ângulos internos do polígono.

Passo 4

Triangular a partir de um vértice e contar triângulos.
  • Pegue um vértice qualquer do polígono regular e ligue esse vértice a todos os outros vértices não adjacentes formando diagonais.
  • Cada diagonal que você traça, partindo do vértice escolhido, divide o polígono em triângulos que compartilham esse vértice.
  • Quantos triângulos obtemos ao dividir o polígono de n lados dessa forma? O número de triângulos será \;n-2\;. Por que isso? Pense: com n vértices, ao fixar um vértice existem exatamente n-3 vértices não adjacentes aos quais traçamos diagonais, e contando o triângulo que usa os dois vértices adjacentes do vértice fixo, totalizam-se \;n-2\; triângulos. Esse é um resultado padrão e fácil de visualizar com exemplos (triângulo n=3 1 triângulo, quadrado n=4 2 triângulos, pentágono n=5 3 triângulos).

Passo 5

Somando os ângulos dos triângulos para obter a soma dos ângulos internos do polígono.
  • Cada triângulo tem soma dos ângulos igual a \;180^{\circ}.
  • Como existem \;n-2\; triângulos não sobrepostos, a soma de todos os ângulos internos do polígono é
\text{soma dos ângulos internos} = 180^{\circ}\times (n-2).â
  • Essa é a fórmula clássica da soma dos ângulos internos de um polígono convexo com n lados.

Passo 6

Dividindo pela quantidade de ângulos para achar um ângulo interno em polígono regular.
  • Em um polígono regular todos os \;n\; ângulos internos têm a mesma medida \;a_i\;.
  • Logo, a soma dos ângulos internos também pode ser escrita como \;n\cdot a_i\;.
  • Igualando as expressões da soma:
n\cdot a_i = 180^{\circ}(n-2).
  • Agora isole \;a_i\; dividindo ambos os lados por \;n\;:
a_i = \frac{180^{\circ}(n-2)}{n}.
  • Pronto — essa é a dedução completa da fórmula pedida. Cada passo usou apenas noções básicas (triângulos e soma de ângulos do triângulo) e uma contagem simples dos triângulos \;n-2\;.

Passo 7

Exemplos numéricos passo a passo para fixar a ideia (mostrando como calcular na prova sem calculadora):
Exemplo 1 — triângulo regular ( n=3):
Substitua \;n=3\; na fórmula:
a_i = \frac{180^{\circ}(3-2)}{3} = \frac{180^{\circ}\cdot 1}{3} = \frac{180^{\circ}}{3} = 60^{\circ}.
Portanto, cada ângulo interno do triângulo regular vale \;60^{\circ}.
Exemplo 2 — quadrado ( n=4):
a_i = \frac{180^{\circ}(4-2)}{4} = \frac{180^{\circ}\cdot 2}{4} = \frac{360^{\circ}}{4} = 90^{\circ}.
Exemplo 3 — pentágono regular ( n=5):
a_i = \frac{180^{\circ}(5-2)}{5} = \frac{180^{\circ}\cdot 3}{5} = \frac{540^{\circ}}{5} = 108^{\circ}.
Exemplo 4 — hexágono regular ( n=6):
a_i = \frac{180^{\circ}(6-2)}{6} = \frac{180^{\circ}\cdot 4}{6} = \frac{720^{\circ}}{6} = 120^{\circ}.

Passo 8

Observações úteis e dicas para a prova (truques e limites):
  • Domínio: a fórmula só faz sentido para \;n\ge 3\; (um polígono precisa ter pelo menos 3 lados).
  • Limite para polígonos com muitos lados: quando \;n\to\infty\;, \;a_i\to 180^{\circ}\;. Intuitivamente, polígonos com muitos lados têm ângulos internos próximos de uma linha reta.
  • Dica rápida para a prova: calcule \;n-2\; primeiro, multiplique por \;180^{\circ}\;, depois divida por \;n\;. Em muitos casos você consegue simplificar antes de multiplicar (por exemplo, dividir \;180\cdot (n-2) por \;n cancelando fatores quando possível).

Resposta

\displaystyle a_{i}=\frac{180^{\circ}(n-2)}{n}

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