Calcule y^{\prime}.
y=\frac{x^{3}+5 x^{2}}{e^{x}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular y' (a derivada de y) quando
y=\frac{x^{3}+5x^{2}}{e^{x}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função y é uma razão entre o polinômio x^{3}+5x^{2} e a exponencial e^{x}.
  • Precisamos fornecer a expressão de y' em função de x.

Passo 2

Escolha do método (sem complicar): reescrevemos a razão como produto para usar a regra do produto, que costuma ser mais direta para simplificar:
y=(x^{3}+5x^{2})e^{-x}.
Isso é válido porque e^{-x}=\dfrac{1}{e^{x}}. Vou usar a regra do produto em vez da regra do quociente porque assim fica mais fácil visualizar e manipular a exponencial e^{-x}.

Passo 3

Relembrando as regras que vamos usar (explicação didática):
  • Regra do produto: se y=u\cdot v, então
y' = u'\,v + u\,v',
onde u' é a derivada de u e v' é a derivada de v.
  • Derivada de um polinômio termo a termo: a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Portanto, por exemplo, a derivada de x^{3} é 3x^{2} e a de 5x^{2} é 5\cdot 2 x =10x.
  • Regra da cadeia para exponencial: se v=e^{u(x)}, então v' = e^{u(x)}\cdot u'(x). No caso de u(x)=-x teremos v'=e^{-x}\cdot(-1)=-e^{-x}. Em particular, a derivada de e^{x} é e^{x}, e a derivada de e^{-x} é -e^{-x}.

Passo 4

Identificamos as partes para a regra do produto:
u(x)=x^{3}+5x^{2},\qquad v(x)=e^{-x}.
Agora calculamos u'(x) termo a termo:
\text{derivada de }x^{3}\text{ é }3x^{2},\quad\text{derivada de }5x^{2}\text{ é }10x,éé
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u'(x)=3x^{2}+10x.

Passo 5

Calculamos v'(x) usando regra da cadeia para v(x)=e^{-x}. Tome u(x)=-x, então u'(x)=-1 e
v'(x)=e^{-x}\cdot(-1)=-e^{-x}.

Passo 6

Aplicando a regra do produto y' = u'v + u v', substituímos as expressões obtidas:
y'=(3x^{2}+10x)\,e^{-x} + (x^{3}+5x^{2})\cdot(-e^{-x}).

Passo 7

Fatoramos e^{-x} que aparece em ambos os termos para simplificar:
y' = e^{-x}\bigl(3x^{2}+10x - (x^{3}+5x^{2})\bigr).
Agora simplificamos o polinômio dentro dos parênteses:
3x^{2}+10x - x^{3} -5x^{2} = -x^{3} -2x^{2} +10x.
Portanto
y' = e^{-x}\bigl(-x^{3} -2x^{2} +10x\bigr).

Passo 8

Opcional: escrever a resposta em forma de fração com e^{x} no denominador (volta ao formato inicial):
y' = \frac{-x^{3} -2x^{2} +10x}{e^{x}}.

Resposta

y'=\frac{-x^{3}-2x^{2}+10x}{e^{x}}

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