Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
(a derivada de
) quando
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função
é uma razão entre o polinômio e a exponencial . - Precisamos fornecer a expressão de
em função de .
Passo 2
Escolha do método (sem complicar): reescrevemos a razão como produto para usar a regra do produto, que costuma ser mais direta para simplificar:
Isso é válido porque
. Vou usar a regra do produto em vez da regra do quociente porque assim fica mais fácil visualizar e manipular a exponencial
.
Passo 3
Relembrando as regras que vamos usar (explicação didática):
- Regra do produto: se
, então
onde
é a derivada de
e
é a derivada de
.
- Derivada de um polinômio termo a termo: a derivada de
é . Portanto, por exemplo, a derivada de é e a de é . - Regra da cadeia para exponencial: se
, então . No caso de teremos . Em particular, a derivada de é , e a derivada de é .
Passo 4
Identificamos as partes para a regra do produto:
Agora calculamos
termo a termo:
logo
Passo 5
Calculamos
usando regra da cadeia para
. Tome
, então
e
Passo 6
Aplicando a regra do produto
, substituímos as expressões obtidas:
Passo 7
Fatoramos
que aparece em ambos os termos para simplificar:
Agora simplificamos o polinômio dentro dos parênteses:
Portanto
Passo 8
Opcional: escrever a resposta em forma de fração com
no denominador (volta ao formato inicial):