Calcule y^{\prime}.
y=\operatorname{arctg}\left(\sqrt{x^{2}+2 x}\right)

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada y^{\prime} da função
y=\operatorname{arctg}\!\left(\sqrt{x^{2}+2x}\right).
Informações relevantes dadas (e que eu preciso ter em mente antes de derivar):
\text{função: } y=\operatorname{arctg}\big(u(x)\big)\quad\text{com}\quad u(x)=\sqrt{x^{2}+2x}.çã
Também é relevante saber onde a função está definida: a raiz quadrada exige
x^{2}+2x\ge 0,
que equivale a
x\le -2\quad\text{ou}\quad x\ge 0.
Portanto só faz sentido calcular y^{\prime} nesses x. Note que em x tal que x^{2}+2x=0 (ou seja, x=0 ou x=-2) a raiz vale zero e a derivada pode não existir porque aparecerá uma divisão por zero no processo — vou tratar disso ao final.

Passo 2

Estratégia de diferenciação (explicação didática das etapas que vou aplicar, sem ainda calcular):
a função é composta: y=f(g(h(x))) com
f(t)=\operatorname{arctg}(t),\quad g(s)=\sqrt{s},\quad h(x)=x^{2}+2x.
A regra que vou usar é a regra da cadeia: se y=f(u) com u=u(x), então
y' = f'(u(x))\cdot u'(x).
Aqui vou aplicar essa ideia duas vezes (de f para g e de g para h). Vou agora lembrar as derivadas das três funções envolvidas:
  • Derivada de f(t)=\operatorname{arctg}(t):
f'(t)=\frac{1}{1+t^{2}}.
Isto significa que, se y=\operatorname{arctg}(u), então \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{u'}{1+u^{2}}.
  • Derivada de g(s)=\sqrt{s}=s^{1/2}:
g'(s)=\frac{1}{2\sqrt{s}}.
Isto significa que, se u=\sqrt{h}, então u'=\dfrac{h'}{2\sqrt{h}}.
  • Derivada de h(x)=x^{2}+2x:
h'(x)=2x+2=2(x+1).

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia passo a passo: escrevo u(x)=g(h(x))=\sqrt{h(x)}. Pela cadeia,
\frac{dy}{dx} = f'\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Usando f'(t)=\dfrac{1}{1+t^{2}} com t=u(x),
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+\big(u(x)\big)^{2}}\cdot u'(x).

Passo 4

Calculo u'(x) usando u(x)=\sqrt{h(x)} e g'(s)=\dfrac{1}{2\sqrt{s}}:
u'(x)=g'\big(h(x)\big)\cdot h'(x)=\frac{1}{2\sqrt{h(x)}}\cdot h'(x).
Substituindo h'(x)=2(x+1) e h(x)=x^{2}+2x,
u'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+2x}}\cdot 2(x+1).

Passo 5

Agora junto tudo na expressão de y'. Substituindo u'(x) em \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{1+(u(x))^{2}}\cdot u'(x) e lembrando que u(x)=\sqrt{x^{2}+2x}, obtenho
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{1+\big(\sqrt{x^{2}+2x}\big)^{2}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x^{2}+2x}}\cdot 2(x+1).
Aqui posso simplificar o fator 2 que aparece no numerador e denominador, ficando uma forma mais limpa, mas sem ainda fazer a última simplificação algébrica:
\frac{dy}{dx}=\frac{x+1}{\big(1+\big(\sqrt{x^{2}+2x}\big)^{2}\big)\,\sqrt{x^{2}+2x}}.

Passo 6

Simplificação final (aqui eu explico o que cada parte significa e faço a redução algébrica):
observe que \big(\sqrt{x^{2}+2x}\big)^{2}=x^{2}+2x. Então o fator \big(1+\big(\sqrt{x^{2}+2x}\big)^{2}\big) é
1+x^{2}+2x.
Note que
1+x^{2}+2x=(x+1)^{2}.
Substituindo isso na expressão do passo anterior obtemos
\frac{dy}{dx}=\frac{x+1}{(x+1)^{2}\,\sqrt{x^{2}+2x}}.
Como (x+1) aparece no numerador e no quadrado do denominador, podemos cancelar um fator (x+1), desde que (x+1)\neq 0. Lembro que x=-1 não pertence ao domínio de interesse porque para x=-1 temos x^{2}+2x=-1<0 (logo a função nem está definida aí). Portanto o cancelamento é legítimo para os x onde a função existe e a raiz é positiva. Após o cancelamento chegamos à forma final simplificada (vou colocá-la somente na seção de resposta final).

Resposta

y'=\frac{1}{(x+1)\sqrt{x^{2}+2x}},\quad\text{para }x<-2\text{ ou }x>0.

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