Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada
da função
Informações relevantes dadas (e que eu preciso ter em mente antes de derivar):
Também é relevante saber onde a função está definida: a raiz quadrada exige
que equivale a
Portanto só faz sentido calcular
nesses
. Note que em
tal que
(ou seja,
ou
) a raiz vale zero e a derivada pode não existir porque aparecerá uma divisão por zero no processo — vou tratar disso ao final.
Passo 2
Estratégia de diferenciação (explicação didática das etapas que vou aplicar, sem ainda calcular):
a função é composta: com
a função é composta:
A regra que vou usar é a regra da cadeia: se
com
, então
Aqui vou aplicar essa ideia duas vezes (de
para
e de
para
). Vou agora lembrar as derivadas das três funções envolvidas:
- Derivada de
:
Isto significa que, se
, então
.
- Derivada de
:
Isto significa que, se
, então
.
- Derivada de
:
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia passo a passo: escrevo
. Pela cadeia,
Usando
com
,
Passo 4
Calculo
usando
e
:
Substituindo
e
,
Passo 5
Agora junto tudo na expressão de
. Substituindo
em
e lembrando que
, obtenho
Aqui posso simplificar o fator
que aparece no numerador e denominador, ficando uma forma mais limpa, mas sem ainda fazer a última simplificação algébrica:
Passo 6
Simplificação final (aqui eu explico o que cada parte significa e faço a redução algébrica):
observe que . Então o fator
é
observe que
Note que
Substituindo isso na expressão do passo anterior obtemos
Como
aparece no numerador e no quadrado do denominador, podemos cancelar um fator
, desde que
. Lembro que
não pertence ao domínio de interesse porque para
temos
(logo a função nem está definida aí). Portanto o cancelamento é legítimo para os
onde a função existe e a raiz é positiva. Após o cancelamento chegamos à forma final simplificada (vou colocá-la somente na seção de resposta final).