Utilize transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial:
Passo 1
Beleza! A gente tem um problema de equação diferencial com condições iniciais. A equação é:
E as condições são:
Vamos usar a Transformada de Laplace para resolver isso. Precisaremos conhecer as transformadas das derivadas e saber como lidar com funções como
.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembra que:
Onde
é a transformada de
.
Passo 3
Aplicando a Transformada de Laplace na equação inteira:
Substituindo pelas expressões das derivadas:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão:
Juntando os termos de
:
Passo 5
Calculamos a transformada do lado direito. Sabemos que:
Então:
Passo 6
Agora, temos:
Vamos isolar
:
Passo 7
Primeiro, fatoramos o denominador
:
Então, a expressão de
fica:
Simplificando a primeira fração:
Passo 8
Agora, temos:
Vamos simplificar a segunda fração usando frações parciais. Precisamos encontrar constantes
tais que:
Passo 9
Multiplicando ambos os lados por
:
Vamos encontrar os valores de
substituindo valores específicos de
.
Passo 10
Primeiro, substituímos
:
Segundo,
:
Terceiro,
:
Passo 11
Para encontrar
, podemos escolher outro valor de
, por exemplo,
:
Simplificando:
Passo 12
Agora, temos:
Então, a expressão de
fica:
Passo 13
Vamos simplificar os termos semelhantes:
Então:
Passo 14
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo: