Utilize transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial:
l y^prime prime-2 y^prime-3 y=3 t e^2 t y(0)=1, y^prime(0)=-1

Passo 1

Beleza! A gente tem um problema de equação diferencial com condições iniciais. A equação é:
y'' - 2y' - 3y = 3t e^2t
E as condições são:
y(0) = 1, y'(0) = -1
Vamos usar a Transformada de Laplace para resolver isso. Precisaremos conhecer as transformadas das derivadas e saber como lidar com funções como .

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembra que:
Ly'' = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0)
Ly' = s Y(s) - y(0)
Onde é a transformada de .

Passo 3

Aplicando a Transformada de Laplace na equação inteira:
Ly'' - 2Ly' - 3Ly = L3t e^2t
Substituindo pelas expressões das derivadas:
[s^2 Y(s) - s cdot 1 - (-1)] - 2 [s Y(s) - 1] - 3 Y(s) = L3t e^2t

Passo 4

Vamos simplificar a expressão:
s^2 Y(s) - s + 1 - 2s Y(s) + 2 - 3 Y(s) = L3t e^2t
Juntando os termos de (s^2 - 2s - 3) Y(s) - s + 3 = L3t e^2t :

Passo 5

Calculamos a transformada do lado direito. Sabemos que:
Lt e^at = 1(s - a)^2
Então:
L3t e^2t = 3 cdot 1(s - 2)^2 = 3(s - 2)^2

Passo 6

Agora, temos:
(s^2 - 2s - 3) Y(s) - s + 3 = 3(s - 2)^2
Vamos isolar Y(s) = s - 3s^2 - 2s - 3 + 3(s^2 - 2s - 3)(s - 2)^2 :

Passo 7

Primeiro, fatoramos o denominador s^2 - 2s - 3 = (s - 3)(s + 1) :
Y(s) = s - 3(s - 3)(s + 1) + 3(s - 3)(s + 1)(s - 2)^2
Então, a expressão de s - 3(s - 3)(s + 1) = 1s + 1 fica:
Simplificando a primeira fração:

Passo 8

Agora, temos:
Y(s) = 1s + 1 + 3(s - 3)(s + 1)(s - 2)^2
Vamos simplificar a segunda fração usando frações parciais. Precisamos encontrar constantes 3(s - 3)(s + 1)(s - 2)^2 = As - 3 + Bs + 1 + Cs - 2 + D(s - 2)^2 tais que:

Passo 9

Multiplicando ambos os lados por 3 = A(s + 1)(s - 2)^2 + B(s - 3)(s - 2)^2 + C(s - 3)(s + 1)(s - 2) + D(s - 3)(s + 1) :
Vamos encontrar os valores de substituindo valores específicos de .

Passo 10

Primeiro, substituímos 3 = A(4)(1)^2 implies 3 = 4A implies A = 34 :
3 = B(-4)(-3)^2 implies 3 = -4 cdot 9 B implies 3 = -36 B implies B = -112
Segundo, 3 = D(-1)(3) implies 3 = -3D implies D = -1 :
Terceiro, :

Passo 11

Para encontrar 3 = 34(1)(-2)^2 + (-112)(-3)(-2)^2 + C(-3)(1)(-2) + (-1)(-3)(1) , podemos escolher outro valor de 3 = 34(4) + (-112)(-3)(4) + C(6) + 3 , por exemplo, 3 = 3 + 1 + 6C + 3 :
3 = 7 + 6C implies 6C = -4 implies C = -23
Simplificando:

Passo 12

Agora, temos:
3(s - 3)(s + 1)(s - 2)^2 = 3/4s - 3 - 1/12s + 1 - 2/3s - 2 - 1(s - 2)^2
Então, a expressão de Y(s) = 1s + 1 + 3/4s - 3 - 1/12s + 1 - 2/3s - 2 - 1(s - 2)^2 fica:

Passo 13

Vamos simplificar os termos semelhantes:
1s + 1 - 112 (s + 1) = 1212(s + 1) - 112(s + 1) = 1112(s + 1)
Então:
Y(s) = 1112(s + 1) + 34(s - 3) - 23(s - 2) - 1(s - 2)^2

Passo 14

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo:
y(t) = 1112 e^-t + 34 e^3t - 23 e^2t - t e^2t

Resposta

y(t) = 1112 e^-t + 34 e^3t - 23 e^2t - t e^2t

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