Calcule y^prime.
y=x tanh ^-1(raizx)

Passo 1

O enunciado dá
y = x ,tanh^-1(raizx)
e pede y'. Vamos usar a regra do produto e, para a derivada de tanh^-1(raizx), a regra da cadeia.

Passo 2

Aplicando a regra do produto,
y' = ddx[x]cdot tanh^-1(raizx) + xcdot ddxl[tanh^-1(raizx)r]

Passo 3

Como ddx[x]=1, o primeiro termo é
tanh^-1(raizx)

Passo 4

Para o segundo termo definimos u=raizx. Então
ddxl[tanh^-1(u)r] = u'1-u^2

Passo 5

Calculamos
u' = ddx[raizx] = 12raizx
e como 1 - u^2 = 1 - x, vem
ddxl[tanh^-1(raizx)r] = 12raizx,(1 - x)

Passo 6

Logo o segundo termo fica
x cdot 12raizx,(1 - x) = x2raizx,(1 - x) = raizx2(1 - x)

Passo 7

Somando os dois termos, obtemos
y' = tanh^-1(raizx) ;+; raizx2(1 - x)

Resposta

y' = tanh^-1(raizx) + raizx2(1 - x)

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