Desenhe a imagem da superficie parametrizada dada.
sigma(u, v)=(v cos u, v sen u, 1v^2), 0 <= u <= 2 pi, v>0.

Passo 1

Estamos com a parametrização de uma superfície
sigma(u,v) = l(vcos u,;vsin u,;tfrac1v^2r),
com 0 <= u <= 2pi e v>0. O conteúdo é reconhecimento de superfície de revolução e eliminação de parâmetro para encontrar sua equação implícita ou explícita.

Passo 2

Observe que as duas primeiras coordenadas satisfazem
x = vcos u, y = vsin u Longrightarrow x^2 + y^2 = v^2

Passo 3

A terceira coordenada é
z = 1v^2
Como v^2 = x^2 + y^2, segue
z = 1x^2 + y^2

Passo 4

O domínio v>0 implica x^2+y^2>0, ou seja, toda a reta radial exceto a origem no plano xy. Portanto a imagem é
(x,y,z)in R^3 mid z = tfrac1x^2+y^2,;x^2+y^2>0

Passo 5

Essa superfície é de revolução em torno do eixo z. No plano de corte (r,z), com r=raizx^2+y^2, temos o gráfico da função
z = 1r^2, r>0
Para rto0 o valor de z cresce para +infty, e para rtoinfty temos zto0^+. Isso produz uma “flauta” ou “trombeta” infinita voltada para cima, encurvando-se em direção ao plano z=0.

Resposta

A imagem é a superfície de revolução dada por
z = 1x^2+y^2, x^2+y^2>0,
isto é, o gráfico de 1/r^2 para r>0, girado em torno do eixo z.

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