Sejam f uma função escalar e F um campo vetorial. Em cada um dos itens abaixo decida se a expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar.
nabla F

Passo 1

O enunciado pede para decidirmos se a expressão
nabla F
tem significado, sabendo que F é um campo vetorial. O conteúdo envolvido são as operações com o operador nabla em funções escalares e campos vetoriais (gradiente, divergência e rotacional) e a noção de que, em geral, precisamos indicar como combinar nabla com um campo (produto escalar, produto vetorial, etc.).

Passo 2

Lembremos que o operador nabla é definido como
nabla = l(partialx,;partialy,;partialzr)
e que em cálculo vetorial elementar usamos normalmente:
1. nabla f (gradiente de escalar) to campo vetorial,
2. nablacdotF (divergência de vetor) to campo escalar,
3. nablatimesF (rotacional de vetor) to campo vetorial.
Em todos esses casos, há um símbolo explícito (nenhum deles é apenas “ nablaF”).

Passo 3

Como não há em notação padrão nem o ponto nem o “ times”, a expressão
nabla F
fica ambígua: não sabemos se queremos divergência, rotacional ou outra combinação. Num tratamento mais avançado (tensores) pode-se definir o “gradiente de um vetor”
nablaotimesF
cujo resultado é uma matriz (tensor de segunda ordem) com entradas partialj Fi. Mas esse objeto não é nem campo escalar nem campo vetorial.

Resposta

A expressão nabla F isolada não tem significado em cálculo vetorial elementar porque falta indicar se é produto escalar, vetorial ou tensorial. Se for interpretada como nablaotimesF, resulta num campo tensorial de segunda ordem, e não num campo escalar nem vetorial.

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