Sejam
uma função escalar e
um campo vetorial. Em cada um dos itens abaixo decida se a expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar.
Passo 1
O enunciado pede para decidirmos se a expressão
tem significado, sabendo que
é um campo vetorial. O conteúdo envolvido são as operações com o operador nabla em funções escalares e campos vetoriais (gradiente, divergência e rotacional) e a noção de que, em geral, precisamos indicar como combinar
com um campo (produto escalar, produto vetorial, etc.).
Passo 2
Lembremos que o operador nabla é definido como
e que em cálculo vetorial elementar usamos normalmente:
.
(gradiente de escalar)
campo vetorial,
.
(divergência de vetor)
campo escalar,
.
(rotacional de vetor)
campo vetorial.
Em todos esses casos, há um símbolo explícito (nenhum deles é apenas “ ”).
Em todos esses casos, há um símbolo explícito (nenhum deles é apenas “
Passo 3
Como não há em notação padrão nem o ponto nem o “
”, a expressão
fica ambígua: não sabemos se queremos divergência, rotacional ou outra combinação. Num tratamento mais avançado (tensores) pode-se definir o “gradiente de um vetor”
cujo resultado é uma matriz (tensor de segunda ordem) com entradas
. Mas esse objeto não é nem campo escalar nem campo vetorial.
Resposta
A expressão
isolada não tem significado em cálculo vetorial elementar porque falta indicar se é produto escalar, vetorial ou tensorial. Se for interpretada como
, resulta num campo tensorial de segunda ordem, e não num campo escalar nem vetorial.