Sejam f uma função escalar e F um campo vetorial. Em cada um dos itens abaixo decida se a expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar.
rot(nabla f)

Passo 1

O enunciado pede para analisar a expressão rot(nabla f), onde f é uma função escalar. O conteúdo envolvido é cálculo vetorial, em particular os operadores gradiente ( nabla f) e rotacional ( rot ou nablatimes). Vamos precisar lembrar (a) que nabla f produz um campo vetorial e (b) que o rotacional atua em campos vetoriais, bem como a identidade clássica do curl do gradiente.

Passo 2

Aplicamos primeiro o gradiente a f, obtendo nabla f, que de fato é um campo vetorial. Depois, tentamos aplicar o rotacional a esse resultado. Como o rotacional exige um campo vetorial de entrada, a composição rot(nabla f) está perfeitamente definida.

Passo 3

De acordo com a identidade fundamental do cálculo vetorial, o rotacional do gradiente de qualquer função escalar é sempre o campo nulo:
rot(nabla f) ;=;nablatimes(nabla f);=;0
Portanto, não só a expressão faz sentido, como ela produz um campo vetorial (o campo nulo).

Resposta

A expressão rot(nabla f) é bem definida e é um campo vetorial, especificamente o campo vetorial nulo.

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