Sejam
uma função escalar e
um campo vetorial. Em cada um dos itens abaixo decida se a expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a expressão
, onde
é uma função escalar. O conteúdo envolvido é cálculo vetorial, em particular os operadores gradiente (
) e rotacional (
ou
). Vamos precisar lembrar (a) que
produz um campo vetorial e (b) que o rotacional atua em campos vetoriais, bem como a identidade clássica do curl do gradiente.
Passo 2
Aplicamos primeiro o gradiente a
, obtendo
, que de fato é um campo vetorial. Depois, tentamos aplicar o rotacional a esse resultado. Como o rotacional exige um campo vetorial de entrada, a composição
está perfeitamente definida.
Passo 3
De acordo com a identidade fundamental do cálculo vetorial, o rotacional do gradiente de qualquer função escalar é sempre o campo nulo:
Portanto, não só a expressão faz sentido, como ela produz um campo vetorial (o campo nulo).
Resposta
A expressão
é bem definida e é um campo vetorial, especificamente o campo vetorial nulo.