Prove que se \left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|z_{3}\right|=1 e z_{1}+z_{2}+z_{3}=0, então z_{1}, z_{2} e z_{3} são os vértices de um triângulo equilátero inscrito no círculo unitário de centro na origem. Faça um gráfico.

Passo 1

O enunciado dá duas informações claras:
  • Temos três números complexos z_{1}, z_{2}, z_{3} tais que \left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\left|z_{3}\right|=1.
  • Eles satisfazem z_{1}+z_{2}+z_{3}=0.
O que se pede:
  • Provar que z_{1},z_{2},z_{3} são os vértices de um triângulo equilátero inscrito no círculo unitário de centro na origem.
  • Fazer um gráfico ilustrando a configuração.
Vou agora desenvolver a prova passo a passo, explicando toda a teoria que eu usar.

Passo 2

Primeiro uma breve revisão útil: qualquer número complexo de módulo 1 pode ser escrito na forma polar usando a fórmula de Euler. Ou seja, se |z|=1 então existe um ângulo \theta tal que
z = \cos\theta + i\sin\theta = e^{i\theta}.
Explico rápido: escrever z assim significa que z é um ponto sobre o círculo unitário (distância 1 da origem) e \theta é o argumento (ângulo) do ponto em relação ao eixo real positivo. Essa representação é muito prática porque multiplicação por e^{i\varphi} corresponde a rotação de ângulo \varphi.

Passo 3

Usando a forma exponencial para cada z_j, escrevo
z_{1} = e^{i\alpha},\qquad z_{2} = e^{i\beta},\qquad z_{3} = e^{i\gamma},
para alguns ângulos reais \alpha,\beta,\gamma. A hipótese z_{1}+z_{2}+z_{3}=0 fica
e^{i\alpha}+e^{i\beta}+e^{i\gamma}=0.
Multiplico essa igualdade por e^{-i\alpha} (isso é uma rotação que não altera a propriedade que queremos) para “fixar” z_{1} na posição 1 do plano complexo. Obtenho
1 + e^{i(\beta-\alpha)} + e^{i(\gamma-\alpha)} = 0.
Defino
u := e^{i(\beta-\alpha)},\qquad v := e^{i(\gamma-\alpha)},
então u e v também têm módulo 1, e a equação passa a ser
1 + u + v = 0.

Passo 4

Agora vamos analisar a equação 1+u+v=0 com |u|=|v|=1. Da equação segue
v = -1 - u.
Tomando módulo ao quadrado de ambos os lados e usando |v|^{2}=1 e |u|^{2}=1, temos
1 = |v|^{2} = |-1-u|^{2} = (-1-u)(-1-\overline{u}) = 1 + u + \overline{u} + |u|^{2}.
Como |u|^{2}=1, isso dá
1 = 1 + (u+\overline{u}) + 1 \quad\Longrightarrow\quad u+\overline{u} = -1.
Mas u+\overline{u}=2\operatorname{Re}(u). Portanto
2\operatorname{Re}(u) = -1 \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{Re}(u) = -\tfrac{1}{2}.
Aqui usei propriedades simples: \overline{u} é o conjugado de u, e para um número na forma e^{i\theta} o conjugado é e^{-i\theta}. O passo de expandir |-1-u|^{2} é apenas aplicar |w|^{2}=w\overline{w}.

Passo 5

Se |u|=1 e \operatorname{Re}(u)=-\tfrac{1}{2}, escrevendo u=\cos\theta + i\sin\theta obtemos \cos\theta=-\tfrac{1}{2}. As soluções para isso são
\theta = \pm \tfrac{2\pi}{3} + 2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z},
ou seja
u = e^{i 2\pi/3}\quad\text{ou}\quad u = e^{-i 2\pi/3}.
Voltemos a v = -1 - u. Se u=e^{i 2\pi/3} então v=e^{-i 2\pi/3}; se u=e^{-i 2\pi/3} então v=e^{i 2\pi/3}. Assim u e v são exatamente os dois outros raízes cúbicas da unidade (além de 1), isto é, 1, u, v são os três cubos-roots de 1.

Passo 6

Recordando a definição de u e v,
u = e^{i(\beta-\alpha)} \in\{e^{i2\pi/3},\,e^{-i2\pi/3}\}.
Isso significa que \beta-\alpha vale \pm \tfrac{2\pi}{3} (módulo 2\pi). Analogamente \gamma-\alpha vale \mp \tfrac{2\pi}{3}. Portanto, os três ângulos \alpha,\beta,\gamma diferem por 120^\circ entre si: podemos escrever, para algum \alpha,
\{\alpha,\beta,\gamma\} = \Big\{\alpha,\\ \alpha+\tfrac{2\pi}{3},\\ \alpha+\tfrac{4\pi}{3}\Big\}.
Isto significa geometricamente que os pontos z_{1},z_{2},z_{3} no plano complexo estão distribuídos ao longo do círculo unitário em três posições com separação angular de 120^\circ. Isso caracteriza precisamente os vértices de um triângulo equilátero inscrito no círculo unitário (qualquer triângulo cujos vértices estejam em ângulos \theta,\theta+2\pi/3,\theta+4\pi/3 é equilátero).

Passo 7

Comentário extra (relacionando com centróide/circuncentro): a condição z_{1}+z_{2}+z_{3}=0 diz que o vetor soma é zero, logo o centro de massa (centroide) dos três vértices é a origem. Como todos os vértices têm a mesma distância à origem ( |z_j|=1), a origem é também o circumcentro. Num triângulo isso só acontece quando o triângulo é equilátero. Essa é uma outra maneira de ver a conclusão.

Passo 8

Escolhendo \alpha=0 obtemos a solução típica
z_{1}=1,\qquad z_{2}=e^{i2\pi/3}=-\tfrac{1}{2}+i\tfrac{\sqrt{3}}{2},\qquad z_{3}=e^{i4\pi/3}=-\tfrac{1}{2}-i\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Verificação:
z_{1}+z_{2}+z_{3}=1-\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}+i\Big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Big)=0,
e |z_j|=1 para cada j. Esses três pontos são claramente os vértices de um triângulo equilátero inscrito no círculo unitário.

Passo 9

Eu não posso inserir uma imagem diretamente aqui, mas segue um código curto em Python/Matplotlib que gera o gráfico do círculo unitário e dos três pontos (basta copiar e rodar num ambiente com Python):
\begin{aligned} \text{import numpy as np}\\\ \text{import matplotlib.pyplot as plt}\\\ \\\ \theta = np.linspace(0,2*np.pi,400)\\\ x = np.cos(theta);\; y = np.sin(theta)\\\ z1 = 1+0j\\\ z2 = np.exp(1j*2*np.pi/3)\\\ z3 = np.exp(1j*4*np.pi/3)\\\ pts = [z1,z2,z3]\\\ \\\ \text{plt.figure(figsize=(5,5))}\\\ \text{plt.plot(x,y,'k',linewidth=1)}\\\ \text{plt.axhline(0,color='gray',linewidth=0.5)}\\\ \text{plt.axvline(0,color='gray',linewidth=0.5)}\\\ \text{plt.scatter([p.real for p in pts],[p.imag for p in pts],color='red')}\\\ \text{for i,p in enumerate(pts,1): plt.text(p.real*1.05,p.imag*1.05,f'\{z\_ {i}\}') }\\\ \text{plt.gca().set\_aspect('equal', 'box')}\\\ \text{plt.xlim(-1.5,1.5); plt.ylim(-1.5,1.5)}\\\ \text{plt.show()} \end{aligned}
Esse gráfico desenhará o círculo unitário centrado na origem e mostrará os três pontos em vermelho, formando um triângulo equilátero. Se quiser um gráfico com posições rotacionadas, substitua z1 por e^{i\alpha} com algum \alpha\neq 0 (por exemplo \alpha=\pi/6).

Resposta

Os três pontos são vértices de um triângulo equilátero inscrito no círculo unitário centrado na origem.

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