Determine as derivadas parciais, de 2^{\mathrm{a}} ordem, de cada função abaixo:
f(x, y)=e^{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função
f(x,y)=e^{x^{2}+y^{2}}.
As derivadas que precisamos encontrar são
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}},\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y},\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x},\qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}.
Estas são: duas derivadas seguidas em x ( \partial_{xx}f), as mistas ( \partial_{xy}f e \partial_{yx}f) e duas em y ( \partial_{yy}f). Vamos calcular passo a passo.

Passo 2

Antes de derivar, um lembrete didático sobre o que é derivada parcial e a regra que vamos usar:
  • Derivada parcial em x significa: diferenciar em relação a x tratando y como constante.
  • Quando temos uma composição f(x,y)=g(u(x,y)) com g(u)=e^{u} e u(x,y)=x^{2}+y^{2}, aplicamos a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x}=g'(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Aqui g'(u)=e^{u} porque a derivada de e^{u} é e^{u}. Vou usar isso já em seguida.

Passo 3

Calcular \frac{\partial u}{\partial x} para u(x,y)=x^{2}+y^{2}:
\frac{\partial u}{\partial x}= \frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2})=2x,
pois y^{2} é tratado como constante quando derivamos em x.
Agora aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x}=e^{x^{2}+y^{2}}\cdot 2x.
Ou seja,
\frac{\partial f}{\partial x}=2x\,e^{x^{2}+y^{2}}.

Passo 4

De forma análoga em y:
\frac{\partial u}{\partial y}= \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+y^{2})=2y,
e pela regra da cadeia
\frac{\partial f}{\partial y}=e^{x^{2}+y^{2}}\cdot 2y,
ou seja
\frac{\partial f}{\partial y}=2y\,e^{x^{2}+y^{2}}.

Passo 5

Agora vamos às derivadas de segunda ordem. Primeiro explique a regra que vamos usar: quando você deriva um produto h(x)\cdot k(x) usa a regra do produto:
\frac{d}{dx}(h\cdot k)=h'\cdot k + h\cdot k'.
No nosso caso as primeiras derivadas são produtos do tipo (polinômio em x ou y) vezes e^{x^{2}+y^{2}}, então aplicamos produto + cadeia.
Calcule \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}. Partimos de \frac{\partial f}{\partial x}=2x\,e^{x^{2}+y^{2}}. Diferenciando em x:
  • Derivada de 2x é 2.
  • Derivada de e^{x^{2}+y^{2}} em x é e^{x^{2}+y^{2}}\cdot 2x (regra da cadeia).
    Aplicando produto:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = 2\cdot e^{x^{2}+y^{2}} + 2x\cdot\big(e^{x^{2}+y^{2}}\cdot 2x\big).
Simplificando:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = 2e^{x^{2}+y^{2}} + 4x^{2}e^{x^{2}+y^{2}} = (4x^{2}+2)\,e^{x^{2}+y^{2}}.

Passo 6

Agora a derivada mista \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}. Partimos de \frac{\partial f}{\partial x}=2x\,e^{x^{2}+y^{2}} e diferenciamos em y. Aqui 2x é constante em relação a y, então:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} = 2x\cdot \frac{\partial}{\partial y}\big(e^{x^{2}+y^{2}}\big).
Usando a regra da cadeia para \partial_{y} e^{x^{2}+y^{2}} obtemos e^{x^{2}+y^{2}}\cdot 2y. Portanto
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y} = 2x\cdot (2y\,e^{x^{2}+y^{2}}) = 4xy\,e^{x^{2}+y^{2}}.

Passo 7

Calcule \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} e \frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} de modo similar.
Para \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}: partimos de \frac{\partial f}{\partial y}=2y\,e^{x^{2}+y^{2}}. Aplicando produto + cadeia:
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} = 2\cdot e^{x^{2}+y^{2}} + 2y\cdot\big(e^{x^{2}+y^{2}}\cdot 2y\big) = 2e^{x^{2}+y^{2}} + 4y^{2}e^{x^{2}+y^{2}} = (4y^{2}+2)\,e^{x^{2}+y^{2}}.
Para \frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}: partimos de \frac{\partial f}{\partial y}=2y\,e^{x^{2}+y^{2}} e diferenciamos em x. Aqui 2y é constante em relação a x, então
\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} = 2y\cdot \frac{\partial}{\partial x}\big(e^{x^{2}+y^{2}}\big) = 2y\cdot (2x\,e^{x^{2}+y^{2}})=4xy\,e^{x^{2}+y^{2}}.
Repare que \frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x} (ambas iguais a 4xy\,e^{x^{2}+y^{2}}), o que era esperado pois f é suficientemente suave.

Resposta

\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=(4x^{2}+2)\,e^{x^{2}+y^{2}}
\frac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y}=4xy\,e^{x^{2}+y^{2}}
\frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}=4xy\,e^{x^{2}+y^{2}}
\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=(4y^{2}+2)\,e^{x^{2}+y^{2}}

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