Determine as derivadas parciais, de
ordem, de cada função abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função
As derivadas que precisamos encontrar são
Estas são: duas derivadas seguidas em
(
), as mistas (
e
) e duas em
(
). Vamos calcular passo a passo.
Passo 2
Antes de derivar, um lembrete didático sobre o que é derivada parcial e a regra que vamos usar:
- Derivada parcial em
significa: diferenciar em relação a tratando como constante. - Quando temos uma composição
com e , aplicamos a regra da cadeia:
Aqui
porque a derivada de
é
. Vou usar isso já em seguida.
Passo 3
Calcular
para
:
pois
é tratado como constante quando derivamos em
.
Agora aplicando a regra da cadeia:
Agora aplicando a regra da cadeia:
Ou seja,
Passo 4
De forma análoga em
:
e pela regra da cadeia
ou seja
Passo 5
Agora vamos às derivadas de segunda ordem. Primeiro explique a regra que vamos usar: quando você deriva um produto
usa a regra do produto:
No nosso caso as primeiras derivadas são produtos do tipo (polinômio em
ou
) vezes
, então aplicamos produto + cadeia.
Calcule
. Partimos de
. Diferenciando em
:
- Derivada de
é . - Derivada de
em é (regra da cadeia).
Aplicando produto:
Simplificando:
Passo 6
Agora a derivada mista
. Partimos de
e diferenciamos em
. Aqui
é constante em relação a
, então:
Usando a regra da cadeia para
obtemos
. Portanto
Passo 7
Calcule
e
de modo similar.
Para
: partimos de
. Aplicando produto + cadeia:
Para
: partimos de
e diferenciamos em
. Aqui
é constante em relação a
, então
Repare que
(ambas iguais a
), o que era esperado pois
é suficientemente suave.