Calcule o zero de f(x)=x^3-5 que está no intervalo [1.5, 2], pelo método da Secante, até que .

Passo 1

O enunciado pede para calcular o zero de f(x)=x^3-5 no intervalo [1.5,2] usando o método da Secante até que lvert f(xi)rvert<10^-2. O conteúdo é métodos numéricos para raiz de função, em especial o método da Secante, e vamos precisar da fórmula desse método e das avaliações de f nos pontos.

Passo 2

Escolhemos como chutes iniciais x0=1.5 e x1=2. No método da Secante, esses dois pontos servem para traçar a reta que aproxima a curva de f e gerar a próxima aproximação.
A fórmula da Secante diz que, a cada iteração, geramos
xi+1=xi-f(xi)xi-xi-1f(xi)-f(xi-1)
Primeira iteração: calculamos
f(x0)=1.5^3-5=-1.625, f(x1)=2^3-5=3

Passo 3

Substituindo na fórmula,
x2=2-32-1.53-(-1.625)approx1.67568

Passo 4

f(x2)=1.67568^3-5approx-0.2951, e ainda temos lvert f(x2)rvert>10^-2, então continuamos.
Segunda iteração: com x1=2 e x2approx1.67568, temos
f(x1)=3, f(x2)approx-0.2951

Passo 5

Aplicando a fórmula da Secante,
x3=1.67568-(-0.2951)1.67568-2-0.2951-3approx1.70470

Passo 6

Logo
f(x3)=1.70470^3-5approx-0.0461, ainda com lvert f(x3)rvert>10^-2.
Terceira iteração: com x2approx1.67568 e x3approx1.70470,
f(x2)approx-0.2951, f(x3)approx-0.0461, e a nova aproximação é
x4=1.70470-(-0.0461)1.70470-1.67568-0.0461-(-0.2951)approx1.71006

Passo 7

Calculando
f(x4)=1.71006^3-5approx0.00074, e agora lvert f(x4)rvert<10^-2, portanto podemos parar.

Resposta

A raiz aproximada é xapprox1.71006.

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