Mostre que as funções f, g: R^n R definidas por f(X)=|X| e g(X)=A X, onde A é um vetor fixo do R^n, são continuas em todo o R^n.

Passo 1

O exercício pede para mostrar que as funções f,g: R^ntoR definidas por f(X)=|X| e g(X)=Acdot X, com AinR^n fixo, são contínuas em todo R^n. Vamos usar a definição de continuidade via epsilon-delta, a desigualdade triangular e a desigualdade de Cauchy–Schwarz.

Passo 2

Para f, seja XinR^n e dado varepsilon>0. Queremos de0 tal que |Y-X| implique
|f(Y)-f(X)|=||Y|-|X||<=|Y-X|
A desigualdade triangular garante ||Y|-|X||<=|Y-X|. Basta escolher de para concluir que f é contínua.

Passo 3

Para g, seja XinR^n e dado varepsilon>0. Se |A|neq0, defina de. Então, se |Y-X|, temos
|g(Y)-g(X)|=|Acdot(Y-X)|<=|A|,|Y-X|<|A|,de
onde usamos a desigualdade de Cauchy–Schwarz. No caso A=0, gequiv0 e é trivialmente contínua.

Resposta

As funções f(X)=|X| e g(X)=Acdot X são contínuas em todo R^n.

Exercícios relacionados