Mostre que as funções
definidas por
e
, onde
é um vetor fixo do
, são continuas em todo o
.
Passo 1
O exercício pede para mostrar que as funções
definidas por
e
, com
fixo, são contínuas em todo
. Vamos usar a definição de continuidade via epsilon-delta, a desigualdade triangular e a desigualdade de Cauchy–Schwarz.
Passo 2
Para
, seja
e dado
. Queremos
tal que
implique
A desigualdade triangular garante
. Basta escolher
para concluir que
é contínua.
Passo 3
Para
, seja
e dado
. Se
, defina
. Então, se
, temos
onde usamos a desigualdade de Cauchy–Schwarz. No caso
,
e é trivialmente contínua.
Resposta
As funções
e
são contínuas em todo
.