Calcule Z\left(S_{3}\right) e o subgrupo dos comutadores de S_{3}.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
Calcular Z\left(S_{3}\right), o centro do grupo simétrico de ordem 6.
Calcular o subgrupo dos comutadores (grupo derivado) de S_{3}.
Informações relevantes que temos (lista explícita dos elementos de S_{3}):
A ordem de S_{3} é 6.
Os elementos de S_{3} podem ser escritos como \{e,\,(12),\,(13),\,(23),\,(123),\,(132)\},
onde e é a identidade, as três transposições são (12),(13),(23) e as duas 3-ciclos são (123),(132).
Passo 2
Definição e caminho para Z(G) (explicação didática do conceito).
O centro de um grupo G éZ(G)=\{g\in G \mid gx=xg\text{ para todo }x\in G\}.
Intuição: um elemento está no centro se comuta com todos os outros elementos do grupo.
Estratégia prática: em grupos finitos não-abelfianos como S_{3} é comum usar as classes de conjugação. Se um elemento tem classe de conjugação de tamanho maior que 1, ele não comuta com todo mundo. Apenas elementos cuja classe de conjugação tem tamanho 1 podem estar no centro.
Passo 3
Classes de conjugação em S_{3} (como obtê-las e por que importam).
Em S_{3} as classes de conjugação são:
\{e\} (classe de tamanho 1).
\{(12),(13),(23)\} (as três transposições estão todas na mesma classe; classe de tamanho 3).
\{(123),(132)\} (os dois 3-ciclos formam uma classe; classe de tamanho 2).
Justificação rápida: permutar os símbolos 1,2,3 por conjugação troca as transposições entre si e troca os 3-ciclos entre si; a identidade é conjugada só consigo mesma.
Passo 4
Concluir Z\left(S_{3}\right) a partir das classes de conjugação.
Como um elemento central deve ter classe de conjugação de tamanho 1, o único candidato em S_{3} é a identidade e.
Logo não existe elemento não-trivial que comute com todos os elementos de S_{3}.
PortantoZ\left(S_{3}\right)=\{e\}.
Passo 5
Definição do subgrupo dos comutadores (grupo derivado) e estratégia para S_{3}.
O subgrupo dos comutadores de G (também chamado grupo derivado e denotado G' ou [G,G]) é o subgrupo gerado por todos os comutadores[a,b]=aba^{-1}b^{-1},com a,b\in G.
Intuição: G' mede o quanto G deixa de ser abeliano; a razão G/G' é o maior quociente abeliano de G.
Estratégia para S_{3}: mostrar que algum comutador é um 3-ciclo (portanto G' contém os 3-ciclos), e depois usar índice/ordem para concluir que G' é exatamente o subgrupo das 3-ciclos (ou seja, A_{3}).
Passo 6
Cálculo explícito de um comutador em S_{3} (passo a passo das multiplicações).
Vou usar a convenção padrão de permutações: o produto \sigma\tau significa "aplicar primeiro \tau e depois \sigma" (ou seja, composição direita-para-esquerda).
Calcule o comutador de (12) e (13):[(12),(13)]=(12)(13)(12)^{-1}(13)^{-1}.Como transposições são de ordem 2, (12)^{-1}=(12) e (13)^{-1}=(13). Então[(12),(13)]=(12)(13)(12)(13).
Vamos computar passo a passo (12)(13) como permutação:
1 \xrightarrow{(13)} 3 \xrightarrow{(12)} 3 então 1\mapsto3.
2 \xrightarrow{(13)} 2 \xrightarrow{(12)} 1 então 2\mapsto1.
3 \xrightarrow{(13)} 1 \xrightarrow{(12)} 2 então 3\mapsto2.
Assim (12)(13)=(1\,3\,2)=(132).
Como (132) é de ordem 3, (132)^{2}=(123). Portanto[(12),(13)]=(123).
Conclusão: o comutador [(12),(13)] é o 3-ciclo (123). Assim G' contém (123); sendo G' um subgrupo, contém também (123)^{2}=(132) e a identidade.
Passo 7
Argumento final que identifica G' com A_{3}.
A3 (o subgrupo alternante) é \{e,(123),(132)\}, um subgrupo de ordem 3.
Já mostramos que G' contém (123), logo contém todo A_{3}.
Por outro lado, S_{3}/A_{3} tem ordem 2 e é abeliano, então o subgrupo dos comutadores G' deve estar contido no núcleo do mapa natural S_{3}\to S_{3}/A_{3}. Em termos mais simples: o menor subgrupo normal com quociente abeliano é exatamente o subgrupo dos comutadores, então como A_{3} dá um quociente abeliano de ordem 2, obrigatoriamente G'\subseteq A_{3}.
Combinando as duas inclusões A_{3}\subseteq G' e G'\subseteq A_{3}, obtemosG'=[S_{3},S_{3}]=A_{3}=\{e,(123),(132)\}.