Calculem a área das superfícies parametrizadas por:
X:(0,2 \pi) \times(0,2 \pi) \rightarrow T, definida por X(\theta, \varphi)=((b+a \cos (\varphi)) \cos (\theta), (b+a \cos (\varphi)) \operatorname{sen}(\theta), a \operatorname{sen}(\varphi))

Passo 1

O enunciado nos dá a parametrização de um toro em \mathbb{R}^3
X(\theta,\varphi)=\bigl((b+a\cos(\varphi))\cos(\theta),\,(b+a\cos(\varphi))\sin(\theta),\,a\sin(\varphi)\bigr),
com \theta\in(0,2\pi) e \varphi\in(0,2\pi).
O conteúdo que vamos usar é a fórmula da área de superfície parametrizada:
A=\iint_{D}\Bigl\|\frac{\partial X}{\partial \theta}\times\frac{\partial X}{\partial \varphi}\Bigr\|\,d\theta\,d\varphi

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial X}{\partial \theta} =\bigl(-(b+a\cos\varphi)\sin\theta,\;(b+a\cos\varphi)\cos\theta,\;0\bigr),
\frac{\partial X}{\partial \varphi} =\bigl(-a\sin\varphi\cos\theta,\;-a\sin\varphi\sin\theta,\;a\cos\varphi\bigr).

Passo 3

Fazendo o produto vetorial \frac{\partial X}{\partial \theta}\times\frac{\partial X}{\partial \varphi} e calculando sua norma, chega-se a
\Bigl\|\frac{\partial X}{\partial \theta}\times\frac{\partial X}{\partial \varphi}\Bigr\| =a\,(b+a\cos\varphi).

Passo 4

Substituindo na integral de área, obtemos
A =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2\pi}a\,(b+a\cos\varphi)\,d\varphi\,d\theta =a\int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{2\pi}(b+a\cos\varphi)\,d\varphi.
Como \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos\varphi\,d\varphi=0, fica
A =a\,(2\pi)\,(2\pi\,b) =4\pi^{2}ab.

Resposta

A área da superfície parametrizada é
4\pi^{2}ab

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