2- Esboce o gráfico da Transformada de Fourier da função em função da frequência
\frac{\pi}{4}+\frac{2}{\pi} \cos t+\sin t+\frac{1}{2} \sin (2 t)+\frac{2}{9 \pi} \cos (3 t)+\frac{1}{3} \sin (3 t)

Passo 1

O enunciado nos dá a função periódica
f(t)=\frac{\pi}{4}+\frac{2}{\pi}\cos t+\sin t+\frac{1}{2}\sin(2t)+\frac{2}{9\pi}\cos(3t)+\frac{1}{3}\sin(3t)
e pede o esboço de sua Transformada de Fourier F(\omega) em função da frequência \omega. Para resolver, vamos usar a propriedade de linearidade e os pares canônicos de transformada contínua: DC, cosseno e seno viram impulsos de Dirac em frequências discretas.

Passo 2

Relembremos os pares de transformada mais úteis:
\mathcal{F}\{1\} = 2\pi\,\delta(\omega),
\mathcal{F}\{\cos(n t)\} = \pi\bigl[\delta(\omega - n)+\delta(\omega + n)\bigr],
\mathcal{F}\{\sin(n t)\} = -\,i\pi\bigl[\delta(\omega - n)-\delta(\omega + n)\bigr].

Passo 3

Aplicando linearidade termo a termo:
  1. O termo DC \displaystyle \frac{\pi}{4} gera
    \mathcal{F}\Bigl\{\tfrac{\pi}{4}\Bigr\} = \tfrac{\pi}{4}\cdot2\pi\,\delta(\omega) = \frac{\pi^2}{2}\,\delta(\omega).
  2. O termo \displaystyle \frac{2}{\pi}\cos t gera
    \frac{2}{\pi}\,\pi\bigl[\delta(\omega-1)+\delta(\omega+1)\bigr] = 2\bigl[\delta(\omega-1)+\delta(\omega+1)\bigr].
  3. O termo \sin t gera
    -\,i\pi\bigl[\delta(\omega-1)-\delta(\omega+1)\bigr].
  4. O termo \displaystyle \tfrac12\sin(2t) gera
    -\,i\,\frac{\pi}{2}\bigl[\delta(\omega-2)-\delta(\omega+2)\bigr].
  5. O termo \displaystyle \frac{2}{9\pi}\cos(3t) gera
    \frac{2}{9\pi}\,\pi\bigl[\delta(\omega-3)+\delta(\omega+3)\bigr] = \frac{2}{9}\bigl[\delta(\omega-3)+\delta(\omega+3)\bigr].
  6. O termo \displaystyle \frac{1}{3}\sin(3t) gera
    -\,i\,\frac{\pi}{3}\bigl[\delta(\omega-3)-\delta(\omega+3)\bigr].

Passo 4

Somando todos os resultados, obtemos
F(\omega)=\frac{\pi^2}{2}\,\delta(\omega) +\bigl[2 - i\pi\bigr]\,\delta(\omega-1) +\bigl[2 + i\pi\bigr]\,\delta(\omega+1) -\,i\,\frac{\pi}{2}\,\bigl[\delta(\omega-2)-\delta(\omega+2)\bigr] +\bigl[\tfrac{2}{9}-i\,\tfrac{\pi}{3}\bigr]\,\delta(\omega-3) +\bigl[\tfrac{2}{9}+i\,\tfrac{\pi}{3}\bigr]\,\delta(\omega+3).

Passo 5

Esboce F(\omega) como um “stem plot” de impulsos de Dirac em \omega=0,\pm1,\pm2,\pm3. Na vertical, coloque a parte real e imaginária de cada coeficiente (ou, para simplificar o desenho de módulo, marque a altura igual ao módulo de cada peso complexo). Em particular:
  • Em \omega=0, peso \pi^2/2.
  • Em \omega=\pm1, pesos 2\mp i\pi.
  • Em \omega=\pm2, pesos \pm i\,(\pi/2).
  • Em \omega=\pm3, pesos \tfrac{2}{9}\mp i\,\tfrac{\pi}{3}.

Resposta

F(\omega)=\frac{\pi^2}{2}\,\delta(\omega) +\bigl[2 - i\pi\bigr]\delta(\omega-1) +\bigl[2 + i\pi\bigr]\delta(\omega+1) -\,i\,\frac{\pi}{2}\bigl[\delta(\omega-2)-\delta(\omega+2)\bigr] +\bigl[\tfrac{2}{9}-i\,\tfrac{\pi}{3}\bigr]\delta(\omega-3) +\bigl[\tfrac{2}{9}+i\,\tfrac{\pi}{3}\bigr]\delta(\omega+3).

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