Calculem a área das superfícies parametrizadas por:
X:(0, R) \times(0,2 \pi) \rightarrow C, definida por X(t, s)=\left(t \cos (s), t \operatorname{sen}(s), \frac{h}{R} t\right) ;

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície parametrizada por
X:(0,R)\times(0,2\pi)\to\mathbb{R}^3,\qquad X(t,s)=\bigl(t\cos(s),\,t\operatorname{sen}(s),\,\tfrac{h}{R}t\bigr).
O conteúdo aqui é cálculo de área de superfície via integração da norma do produto vetorial das derivadas parciais. Vamos precisar de: (1) as derivadas X_t e X_s, (2) o produto vetorial X_t\times X_s e (3) a integral dupla de \|X_t\times X_s\|.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais em relação a t e s:
X_t(t,s) =\Bigl(\cos(s),\,\operatorname{sen}(s),\,\tfrac{h}{R}\Bigr), \quad X_s(t,s) =\Bigl(-t\operatorname{sen}(s),\,t\cos(s),\,0\Bigr).
Esses vetores dão duas direções tangentes à superfície em cada ponto (t,s).

Passo 3

O produto vetorial vale
X_t\times X_s =\bigl(-\tfrac{h}{R}t\cos(s),\,-\tfrac{h}{R}t\operatorname{sen}(s),\,t\bigr).
A norma é
\|X_t\times X_s\| =\sqrt{\Bigl(\tfrac{h}{R}t\Bigr)^2\bigl(\cos^2s+\operatorname{sen}^2s\bigr)+t^2} =t\sqrt{1+\Bigl(\tfrac{h}{R}\Bigr)^2}.

Passo 4

A área da superfície é
\iint_{(0,R)\times(0,2\pi)}\|X_t\times X_s\|\,dt\,ds =\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{R}t\sqrt{1+\Bigl(\tfrac{h}{R}\Bigr)^2}\,dt\,ds.
Como \sqrt{1+(h/R)^2} é constante,
\text{Área} =\sqrt{1+\Bigl(\tfrac{h}{R}\Bigr)^2}\,\Bigl(\int_{0}^{2\pi}ds\Bigr)\,\Bigl(\int_{0}^{R}t\,dt\Bigr) =\sqrt{1+\Bigl(\tfrac{h}{R}\Bigr)^2}\,(2\pi)\,\frac{R^2}{2}.Á

Resposta

\text{Área} = \pi\,R^2\,\sqrt{1+\Bigl(\tfrac{h}{R}\Bigr)^2} = \pi\,R\,\sqrt{R^2+h^2}.Á

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