Determine o domínio,esboce a região do domínio no plano x y e encontre a imagem, de cada uma das funções abaixo.
g(x)=x^{2}-4 x+4

Passo 1

O enunciado pede, para a função
g(x)=x^{2}-4x+4,
que determinemos o domínio (conjunto de valores de x para os quais g está definida), que esbocemos o gráfico no plano xy e que encontremos a imagem (conjunto de valores assumidos por g). O conteúdo envolve propriedades de funções polinomiais, completamento de quadrado e análise de parabolas.

Passo 2

Como g é um polinômio de segundo grau, não há restrições na escolha de x. Logo,
\text{Domínio}(g)=\{x\in\mathbb{R}\} =(-\infty,\infty).í

Passo 3

Para localizar o vértice da parábola e facilitar o esboço, completamos o quadrado:
g(x)=x^{2}-4x+4 = (x^{2}-4x+4)=(x-2)^{2}.
Dessa forma, o vértice é V=(2,0), o eixo de simetria é x=2 e a concavidade é voltada para cima.

Passo 4

No plano xy, o gráfico de y=g(x) é a parábola com vértice em (2,0) e abertura para cima. Alguns pontos de referência:
g(0)=4,\quad g(1)=1,\quad g(3)=1,\quad g(4)=4.
Basta ligar esses pontos num traço suave que passe por (2,0).

Passo 5

Como (x-2)^{2}\ge 0 para todo x\in\mathbb{R}, o valor mínimo de g(x) é 0, obtido em x=2. Portanto,
\text{Imagem}(g)=[0,\infty).

Resposta

\text{Domínio}(g)=(-\infty,\infty)í
\text{Imagem}(g)=[0,\infty)

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