Calcules as integrais ao longo da curva dada
Calcule a massa e o centro de massa de um cabo dobra na forma de uma hélice circular x=cos t, y=sin t, z=t, (0 <= t <= 2 pi), se a massa está dada por lambda(x, y, z)=z

Passo 1

O problema pede a massa e o centro de massa de um fio no formato de hélice circular
x=cos t,;y=sin t,;z=t,;0<= t<=2pi,
com densidade linear lambda(x,y,z)=z.
Conteúdo: integrais de linha com densidade linear. Vamos parametrizar o fio por
r(t)=(cos t,sin t,t), usar
d s=| r'(t)|, d t
e aplicar
m=integralClambda, d s, bar x=1mintegralC x,lambda, d s, bar y=1mintegralC y,lambda, d s, bar z=1mintegralC z,lambda, d s

Passo 2

Calculamos a derivada e seu módulo:
r'(t)=(-sin t,cos t,1),
| r'(t)| =raizsin^2t+cos^2t+1 =raiz2
Como lambda(r(t))=t, temos lambda, d s=traiz2, d t.

Passo 3

Massa do fio:
m =integral0^2pitraiz2, d t =raiz2integral0^2pit, d t =raiz2gl[t^22gr]0^2pi =raiz2cdot(2pi)^22 =2pi^2raiz2

Passo 4

Coordenada x do centro de massa:
bar x =1mintegral0^2pi(cos t),traiz2, d t =raiz2mintegral0^2pitcos t, d t
Como
integral0^2pitcos t, d t =l[tsin tr]0^2pi-integral0^2pisin t, d t =0,
segue bar x=0.

Passo 5

Coordenada y do centro de massa:
bar y =1mintegral0^2pi(sin t),traiz2, d t =raiz2mintegral0^2pitsin t, d t
Calculamos
integral0^2pitsin t, d t =-l[tcos tr]0^2pi+integral0^2picos t, d t =-2pi,
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bar y =raiz2cdot(-2pi)2pi^2raiz2 =-1pi

Passo 6

Coordenada z do centro de massa:
bar z =1mintegral0^2pit;traiz2, d t =raiz2mintegral0^2pit^2, d t =raiz22pi^2raiz2,(2pi)^33 =4pi3

Resposta

Massa:
m=2pi^2raiz2
Centro de massa:
(bar x,bar y,bar z) =l(0,,-tfrac1pi,;tfrac4pi3r)

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