Considere a seguinte equação diferencial:
(a) Mostre que a equação diferencial não é exata e que
é um fator integrante da mesma.
(b) Encontre a solução geral de .
(c) Encontre a solução de que satisfaz
.
(b) Encontre a solução geral de .
(c) Encontre a solução de que satisfaz
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem a seguinte equação:
Nosso objetivo é:
a) Mostrar que essa equação não é exata e encontrar um fator integrante
.
b) Encontrar a solução geral da equação.
c) Encontrar a solução específica que satisfaz
.
Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação exata, como encontrar e aplicar um fator integrante, e depois resolver a equação diferencial.
Passo 2
Vamos começar pelo primeiro item:
a) Mostrar que a equação não é exata e que
é um fator integrante.
Uma equação diferencial na forma
é chamada exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
.
Primeiro, vamos identificar
e
:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Claramente,
, então a equação não é exata.
Para tornar a equação exata, procuramos um fator integrante
. Supomos que
depende apenas de
, então multiplicamos toda a equação por
:
Para que a equação seja exata, deve valer:
Resolvendo essa igualdade, encontramos que
satisfaz as condições necessárias. Portanto,
é um fator integrante da equação.
Passo 3
b) Encontrar a solução geral da equação diferencial.
Agora que temos o fator integrante
, vamos multiplicar a equação original por
:
Simplificando:
Para a equação ser exata, existe uma função potencial
tal que:
Vamos integrar
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Comparando os termos, temos:
Portanto, a função potencial é:
Organizando a equação:
Essa é a solução geral da equação diferencial.
Passo 4
c) Encontrar a solução que satisfaz
.
Vamos usar a solução geral encontrada:
Substituindo
e
:
Agora, substituímos
de volta na solução geral:
Podemos simplificar multiplicando todos os termos por 2 para eliminar a fração:
Essa é a solução específica que satisfaz a condição inicial
.
Resposta
A solução que satisfaz
é: