Considere a seguinte equação diferencial:
(a) Mostre que a equação diferencial não é exata e que é um fator integrante da mesma.
(b) Encontre a solução geral de .
(c) Encontre a solução de que satisfaz .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem a seguinte equação:
2 y^2+2 yx+(2 x y+2+yx) y^prime=0
Nosso objetivo é:
a) Mostrar que essa equação não é exata e encontrar um fator integrante mu(x)=x.
b) Encontrar a solução geral da equação.
c) Encontrar a solução específica que satisfaz y(1)=1.
Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação exata, como encontrar e aplicar um fator integrante, e depois resolver a equação diferencial.

Passo 2

Vamos começar pelo primeiro item:
a) Mostrar que a equação não é exata e que mu(x)=x é um fator integrante.
Uma equação diferencial na forma M(x, y) + N(x, y) y' = 0 é chamada exata se a derivada parcial de M em relação a y for igual à derivada parcial de N em relação a x .
Primeiro, vamos identificar M e N :
M(x, y) = 2y^2 + 2yx
N(x, y) = 2xy + 2 + yx
Agora, calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 4y + 2x
partial Npartial x = 2y - yx^2
Claramente, partial Mpartial y neq partial Npartial x , então a equação não é exata.
Para tornar a equação exata, procuramos um fator integrante mu(x) . Supomos que mu depende apenas de x , então multiplicamos toda a equação por mu(x) :
mu(x) M + mu(x) N y' = 0
Para que a equação seja exata, deve valer:
ddy [mu(x) M] = ddx [mu(x) N]
Resolvendo essa igualdade, encontramos que mu(x) = x satisfaz as condições necessárias. Portanto, mu(x) = x é um fator integrante da equação.

Passo 3

b) Encontrar a solução geral da equação diferencial.
Agora que temos o fator integrante mu(x) = x , vamos multiplicar a equação original por x :
x cdot (2y^2 + 2yx) + x cdot (2xy + 2 + yx) y' = 0
Simplificando:
2x y^2 + 2y + (2x^2 y + 2x + y) y' = 0
Para a equação ser exata, existe uma função potencial Psi(x, y) tal que:
partial Psipartial x = mu(x) M = 2x y^2 + 2y
partial Psipartial y = mu(x) N = 2x^2 y + 2x + y
Vamos integrar partial Psipartial x em relação a x :
Psi(x, y) = integral (2x y^2 + 2y) dx = x^2 y^2 + 2y x + h(y)
Agora, derivamos Psi em relação a y e igualamos a mu(x) N :
partial Psipartial y = 2x^2 y + 2x + h'(y) = 2x^2 y + 2x + y
Comparando os termos, temos:
h'(y) = y implies h(y) = 12 y^2 + C
Portanto, a função potencial é:
Psi(x, y) = x^2 y^2 + 2x y + 12 y^2 = C
Organizando a equação:
x^2 y^2 + 2x y + 12 y^2 = C
Essa é a solução geral da equação diferencial.

Passo 4

c) Encontrar a solução que satisfaz y(1) = 1 .
Vamos usar a solução geral encontrada:
x^2 y^2 + 2x y + 12 y^2 = C
Substituindo x = 1 e y = 1 :
1^2 cdot 1^2 + 2 cdot 1 cdot 1 + 12 cdot 1^2 = C
1 + 2 + 12 = C
3.5 = C
Agora, substituímos C de volta na solução geral:
x^2 y^2 + 2x y + 12 y^2 = 3.5
Podemos simplificar multiplicando todos os termos por 2 para eliminar a fração:
2x^2 y^2 + 4x y + y^2 = 7
Essa é a solução específica que satisfaz a condição inicial y(1) = 1 .

Resposta

A solução que satisfaz y(1) = 1 é:
2x^2 y^2 + 4x y + y^2 = 7

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