Calcules as integrais ao longo da curva dada
Calcule o momento de inercia em relação ao eixo para um fio com densidade constante o qual é descrito pela curva , . Dica: utiliza a distância até como
Passo 1
O enunciado pede o momento de inércia em relação ao eixo de um fio de densidade linear constante descrito pela curva
Conteúdo: momento de inércia de uma linha, fórmula
com e distância ao eixo dada por .
Passo 2
Calcular ao longo da curva:
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Passo 3
Determinar . Primeiro calcule
então
e ds=raiz2e^2t+1,dt.
Passo 4
Montar a integral do momento de inércia:
Iz =lambdaintegral0^2pi(x^2+y^2),ds =lambdaintegral0^2pie^2t,raiz2e^2t+1;dt
Passo 5
Resolver por substituição. Defina
u=raiz2e^2t+1Longrightarrow u^2=2e^2t+1
diferenciando:
2u,du=4e^2t,dt Longrightarrow e^2t,dt=u,du2
Substituindo em Iz:
Iz =lambdaintegral e^2t,u,dt =lambdaintegral u;u,du2 =lambda2integral u^2,du =lambda6,u^3+C
Passo 6
Avaliar entre os limites t=0 e t=2pi. Quando t=0,
u(0)=raiz2e^0+1=raiz3,
quando t=2pi,
u(2pi)=raiz2e^4pi+1
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Iz =lambda6l[l(raiz2e^4pi+1r)^3-(raiz3)^3r] =lambda6l[(2e^4pi+1)^3/2-3raiz3r]