Calcules as integrais ao longo da curva dada
Calcule o momento de inercia em relação ao eixo z para um fio com densidade constante lambda o qual é descrito pela curva r(t)=e^t cos t i+e^t sin t j+t k, (0 <= t <= 2 pi). Dica: utiliza a distância até z como raizx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia em relação ao eixo z de um fio de densidade linear constante lambda descrito pela curva
r(t)=e^tcos t,i+e^tsin t,j+t,k, 0<= t<=2pi
Conteúdo: momento de inércia de uma linha, fórmula
Iz=integral (x^2+y^2),dm,
com dm=lambda,ds e distância ao eixo z dada por raizx^2+y^2.

Passo 2

Calcular ;x^2+y^2; ao longo da curva:
x(t)=e^tcos t, y(t)=e^tsin t
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x^2+y^2=e^2t(cos^2t+sin^2t)=e^2t

Passo 3

Determinar ds. Primeiro calcule
r'(t)=l(e^t(cos t-sin t),;e^t(sin t+cos t),;1r),
então
llVertr'(t)rrVert =raize^2t[(cos t-sin t)^2+(sin t+cos t)^2]+1 =raiz2e^2t+1,
e ds=raiz2e^2t+1,dt.

Passo 4

Montar a integral do momento de inércia:
Iz =lambdaintegral0^2pi(x^2+y^2),ds =lambdaintegral0^2pie^2t,raiz2e^2t+1;dt

Passo 5

Resolver por substituição. Defina
u=raiz2e^2t+1Longrightarrow u^2=2e^2t+1
diferenciando:
2u,du=4e^2t,dt Longrightarrow e^2t,dt=u,du2
Substituindo em Iz:
Iz =lambdaintegral e^2t,u,dt =lambdaintegral u;u,du2 =lambda2integral u^2,du =lambda6,u^3+C

Passo 6

Avaliar entre os limites t=0 e t=2pi. Quando t=0,
u(0)=raiz2e^0+1=raiz3,
quando t=2pi,
u(2pi)=raiz2e^4pi+1
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Iz =lambda6l[l(raiz2e^4pi+1r)^3-(raiz3)^3r] =lambda6l[(2e^4pi+1)^3/2-3raiz3r]

Resposta

Iz =lambda6l[(2e^4pi+1)^3/2-3raiz3r]

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