Resolva as equações:
(g) x y^4+(2 x^2 y^3+3 y^5-20 y^3) d yd x=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial x y^4+(2 x^2 y^3+3 y^5-20 y^3) d yd x=0. Aqui, estamos trabalhando com equações diferenciais, e para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e simplificação de expressões algébricas. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar d yd x. Então temos:
x y^4 + (2 x^2 y^3 + 3 y^5 - 20 y^3) d yd x = 0
Subtraindo x y^4 de ambos os lados:
(2 x^2 y^3 + 3 y^5 - 20 y^3) d yd x = -x y^4

Passo 3

Agora, isolamos d yd x dividindo ambos os lados pelo termo que multiplica d yd x:
d yd x = -x y^4 2 x^2 y^3 + 3 y^5 - 20 y^3

Passo 4

Vamos simplificar o denominador fatorando y^3:
2 x^2 y^3 + 3 y^5 - 20 y^3 = y^3 (2 x^2 + 3 y^2 - 20)
Substituindo na equação:
d yd x = -x y^4 y^3 (2 x^2 + 3 y^2 - 20) = -x y 2 x^2 + 3 y^2 - 20

Passo 5

Agora, vamos rearranjar a equação para separar as variáveis x e y:
dydx = -x y 2 x^2 + 3 y^2 - 20
Multiplicando ambos os lados por dx e dividindo ambos os lados pelo numerador:
2 x^2 + 3 y^2 - 20y dy = -x dx

Passo 6

Vamos separar as variáveis para integrar ambos os lados:
2 x^2 + 3 y^2 - 20y dy = -x dx
Isso dá:
2 x^2y dy + 3 y dy - 20y dy = -x dx

Passo 7

Integrando ambos os lados:
integral ( 2 x^2y + 3 y - 20y ) dy = integral -x dx
Vamos integrar termo a termo:
2 x^2 integral 1y dy + 3 integral y dy - 20 integral 1y dy = -integral x dx

Passo 8

Calculando as integrais:
2 x^2 ln|y| + 32 y^2 - 20 ln|y| = -12 x^2 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 9

Podemos simplificar a expressão combinando os termos com ln|y|:
(2 x^2 - 20) ln|y| + 32 y^2 = -12 x^2 + C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
(2 x^2 - 20) ln|y| + 32 y^2 = -12 x^2 + C
Onde C é a constante de integração.

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