Nos exercícios 1-32, (a) determine o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de a série converge
(b) absolutamente e (c) condicionalmente?
Passo 1
O enunciado dá a série de potências centrada em :
O conteúdo é séries de potências e vamos usar a ideia de série geométrica (ou o teste da razão) para encontrar o raio de convergência e estudar os extremos.
Passo 2
Note que
Assim fica explícita uma série geométrica em com razão
Passo 3
Para convergir a série geométrica é preciso , isto é,
Logo o raio de convergência é
e o intervalo de convergência (sem ainda tratar os extremos) é
Passo 4
Agora testamos nos extremos:
Para :
logo os termos não tendem a zero e a série diverge.
Para :
também diverge.
Portanto, nenhum dos extremos entra no intervalo de convergência.
Passo 5
Convergência absoluta significa que
converge, o que ocorre exatamente quando |x-raiz2|<raiz2.
Passo 6
Como nos pontos x=0 e x=2raiz2 a série diverge, não há nenhum valor de x em que a série convirja apenas condicionalmente.
Resposta
(a) R=raiz2, intervalo de convergência (0,2raiz2).
(b) Converge absolutamente para |x-raiz2|<raiz2.
(c) Não converge condicionalmente em nenhum ponto.