Nos exercícios 1-32, (a) determine o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge
(b) absolutamente e (c) condicionalmente?
sumn=0^infty (x-raiz2)^2 n+12^n

Passo 1

O enunciado dá a série de potências centrada em raiz2:
sumn=0^infty(x-raiz2)^2n+12^n
O conteúdo é séries de potências e vamos usar a ideia de série geométrica (ou o teste da razão) para encontrar o raio de convergência e estudar os extremos.

Passo 2

Note que
(x-raiz2)^2n+12^n =(x-raiz2);l((x-raiz2)^2r)^n2^n =(x-raiz2);l((x-raiz2)^22r)^n
Assim fica explícita uma série geométrica em n com razão
r=(x-raiz2)^22

Passo 3

Para convergir a série geométrica é preciso , isto é,
Logo o raio de convergência é
e o intervalo de convergência (sem ainda tratar os extremos) é

Passo 4

Agora testamos x nos extremos:
Para x=0:
x-raiz2=-raiz2 Longrightarrow (x-raiz2)^2n+12^n =(-raiz2)^2n+12^n =-raiz2(forall n),
logo os termos não tendem a zero e a série diverge.
Para x=2raiz2:
x-raiz2= raiz2 Longrightarrow (x-raiz2)^2n+12^n =(raiz2)^2n+12^n =raiz2(forall n),
também diverge.
Portanto, nenhum dos extremos entra no intervalo de convergência.

Passo 5

Convergência absoluta significa que
sumn=0^inftygl|(x-raiz2)^2n+12^ngr| =|x-raiz2|sumn=0^inftyl(|x-raiz2|^22r)^n
converge, o que ocorre exatamente quando |x-raiz2|<raiz2.

Passo 6

Como nos pontos x=0 e x=2raiz2 a série diverge, não há nenhum valor de x em que a série convirja apenas condicionalmente.

Resposta

(a) R=raiz2, intervalo de convergência (0,2raiz2).
(b) Converge absolutamente para |x-raiz2|<raiz2.
(c) Não converge condicionalmente em nenhum ponto.

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