Calcules as integrais ao longo da curva dada
integralC z d s, onde C é a curva descrita pelo vetor x=t cos t, y=t sin t e z=t, no intervalo 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha de uma função escalar
O conteúdo aqui é a integral de linha de uma função escalar em relação ao elemento de comprimento de arco (ds]. Vamos usar a fórmula

Passo 2

Primeiro escrevemos o vetor de parametrização
r(t)=l(x(t),y(t),z(t)r)=l(tcos t,;tsin t,;tr)
e calculamos sua derivada
r'(t)=l(cos t - tsin t,;sin t + tcos t,;1r)

Passo 3

Agora determinamos o módulo lVert r'(t)rVert. Note que
l(cos t - tsin tr)^2+l(sin t + tcos tr)^2 =cos^2t-2tcos tsin t+t^2sin^2t +sin^2t+2tsin tcos t+t^2cos^2t =1+t^2
Somando o quadrado da terceira componente ( 1^2=1) obtemos
lVert r'(t)rVert =raiz(1+t^2)+1 =raizt^2+2

Passo 4

Então a integral fica
integralCz,ds =integral0^2pit;raizt^2+2;dt

Passo 5

Para resolver integral0^2pitraizt^2+2,dt fazemos a substituição
u=t^2+2, du=2t,dtLongrightarrow t,dt=du2
A integral em u vira
integral traizt^2+2,dt =12integral u^1/2,du =12cdot23u^3/2 =13u^3/2

Passo 6

Voltando a t e aplicando os limites 0 e 2pi, temos
integral0^2pitraizt^2+2,dt =13l[(t^2+2)^3/2r]0^2pi =13l[(4pi^2+2)^3/2-(2)^3/2r]
Como (2)^3/2=2raiz2, o resultado final é
13l[(4pi^2+2)^3/2-2raiz2r]

Resposta

boxedintegralCz,ds =13l[(4pi^2+2)^3/2-2raiz2r]

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