Encontre os valores do parâmetro
para os quais a integral
converge.
Passo 1
O enunciado pede para determinar os valores de
tais que a integral
converge. O conteúdo envolve integrais impróprias com singularidade onde
. Para resolver, vamos identificar a região singular e aplicar uma mudança de variável que transforme o problema num integral do tipo
, cujo critério de convergência é bem conhecido.
Passo 2
Verificamos as possíveis descontinuidades do integrando em
. Em
temos
, logo não há problema de divergência. Em
aparece
no denominador, gerando uma singularidade de tipo impróprio. Portanto, basta estudar a convergência perto de
.
Passo 3
Fazemos a mudança de variável
logo
Substituindo na integral; quando
,
, e quando
,
. O integrando fica
Assim a integral original transforma-se em
Passo 4
Agora aplicamos o critério para a integral imprópria
Sabe-se que
converge se, e somente se, o expoente de
for maior que
, isto é, se
Para
a integral diverge (no caso
diverge logaritmicamente, e para
por potência).
Passo 5
Concluímos que a integral
converge exatamente quando
.
Resposta
A integral converge para
.