Encontre os valores do parâmetro p para os quais a integral integral1^5 1x(ln x)^p d x converge.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de p tais que a integral
integral1^5 1x(ln x)^p,dx
converge. O conteúdo envolve integrais impróprias com singularidade onde ln x=0. Para resolver, vamos identificar a região singular e aplicar uma mudança de variável que transforme o problema num integral do tipo integral0 t^-p,dt, cujo critério de convergência é bem conhecido.

Passo 2

Verificamos as possíveis descontinuidades do integrando em [1,5]. Em x=5 temos ln5>0, logo não há problema de divergência. Em x=1 aparece ln1=0 no denominador, gerando uma singularidade de tipo impróprio. Portanto, basta estudar a convergência perto de x=1^+.

Passo 3

Fazemos a mudança de variável
t = ln x,
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x = e^t, dx = e^t,dt
Substituindo na integral; quando xto1^+, tto0^+, e quando x=5, t=ln5. O integrando fica
1x(ln x)^p,dx = 1e^t,t^p;e^t,dt = t^-p,dt
Assim a integral original transforma-se em
integral1^51x(ln x)^p,dx =integral0^ln5t^-p,dt

Passo 4

Agora aplicamos o critério para a integral imprópria
integral0^at^-p,dt
Sabe-se que
integral0^at^-p,dt
converge se, e somente se, o expoente de t for maior que -1, isto é, se
-p > -1 Long<=ftrightarrow p < 1
Para p>=1 a integral diverge (no caso p=1 diverge logaritmicamente, e para p>1 por potência).

Passo 5

Concluímos que a integral
integral1^5 1x(ln x)^p,dx
converge exatamente quando p<1.

Resposta

A integral converge para p<1.

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