Resolva as equações:
(c) 2 x y^2+cos x+(2 x^2 y+1y) d yd x=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para resolver a equação:
2 x y^2 + cos x + (2 x^2 y + 1y) d yd x = 0
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como aplicá-la. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar. Podemos organizar os termos para isolar dydx:
(2 x^2 y + 1y) d yd x = -2 x y^2 - cos x
Dividindo ambos os lados pelo fator que multiplica dydx, temos:
d yd x = -2 x y^2 - cos x 2 x^2 y + 1y
Mas, para resolver de forma mais eficiente, vamos considerar a equação na forma:
M(x, y) + N(x, y) d yd x = 0
Onde:
M(x, y) = 2 x y^2 + cos x
N(x, y) = 2 x^2 y + 1y

Passo 3

Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Uma equação diferencial M(x, y) + N(x, y) d yd x = 0 é exata se:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Primeiro, a derivada de M em relação a y:
partial Mpartial y = partialpartial y (2 x y^2 + cos x) = 4 x y
Em seguida, a derivada de N em relação a x:
partial Npartial x = partialpartial x (2 x^2 y + 1y) = 4 x y
Como partial Mpartial y = partial Npartial x, a equação é exata!

Passo 4

Como a equação é exata, existe uma função psi(x, y) tal que:
partial psipartial x = M(x, y) = 2 x y^2 + cos x
Vamos encontrar psi(x, y) integrando M em relação a x:
psi(x, y) = integral (2 x y^2 + cos x) , dx = x^2 y^2 + sin x + h(y)
Aqui, h(y) é uma função de y que aparece na integração.

Passo 5

Agora, vamos usar a segunda condição para encontrar h(y) . Sabemos que:
partial psipartial y = N(x, y) = 2 x^2 y + 1y
Calculando a derivada de psi em relação a y :
partial psipartial y = 2 x^2 y + h'(y)
Igualando às duas expressões:
2 x^2 y + h'(y) = 2 x^2 y + 1y
Isso nos leva a:
h'(y) = 1y

Passo 6

Agora, vamos integrar h'(y) para encontrar h(y) :
h(y) = integral 1y , dy = ln |y| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, juntamos tudo para escrever a solução geral psi(x, y) = C :
x^2 y^2 + sin x + ln y = C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
x^2 y^2 + sin x + ln y = C
Onde C é a constante de integração.

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