Resolva as equações:
(c)
(c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado pede para resolver a equação:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como aplicá-la. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais familiar. Podemos organizar os termos para isolar
:
Dividindo ambos os lados pelo fator que multiplica
, temos:
Mas, para resolver de forma mais eficiente, vamos considerar a equação na forma:
Onde:
Passo 3
Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Uma equação diferencial
é exata se:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Primeiro, a derivada de
em relação a
:
Em seguida, a derivada de
em relação a
:
Como
, a equação é exata!
Passo 4
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que aparece na integração.
Passo 5
Agora, vamos usar a segunda condição para encontrar
. Sabemos que:
Calculando a derivada de
em relação a
:
Igualando às duas expressões:
Isso nos leva a:
Passo 6
Agora, vamos integrar
para encontrar
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Finalmente, juntamos tudo para escrever a solução geral
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.