Calcules os limites (aqui a utilização da regra de L’Hôspital é permitida)
\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{1 / x}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to+\infty} x^{1/x}.
Informações dadas: a variável x tende para +\infty; a expressão é uma potência onde a base x cresce e o expoente é 1/x que tende a 0. Não há outras condições fornecidas.

Passo 2

Para tratar limites com potência em que tanto a base quanto o expoente variam, uma técnica padrão é tomar o logaritmo natural porque ele transforma potência em produto, que é mais fácil de analisar. Defino
y = x^{1/x}.
Aqui é válido tomar \ln porque, para x>0 (e estamos com x\to+\infty), a expressão está bem definida. Aplicando \ln em ambos os lados:
\ln y = \ln\bigl(x^{1/x}\bigr).

Passo 3

Usando a propriedade do logaritmo \ln(a^b)=b\ln a, obtemos
\ln y = \frac{1}{x}\,\ln x = \frac{\ln x}{x}.
Agora o problema de encontrar \lim_{x\to+\infty} y reduz-se a encontrar \lim_{x\to+\infty} \ln y e então recuperar y por exponenciação, pois a função exponencial e^{(\cdot)} é contínua: se \ln y\to L então y\to e^L.

Passo 4

Vamos calcular
\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}.
Este é um caso do tipo \tfrac{\infty}{\infty}, portanto podemos aplicar a regra de L’Hôpital. Tomando derivadas de numerador e denominador em relação a x:
\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x},\qquad \frac{d}{dx}(x)=1.
Pela regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1/x}{1}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0.
(Observação intuitiva: \ln x cresce muito mais devagar que x, por isso a razão tende a zero.)

Passo 5

Tivemos \lim_{x\to+\infty}\ln y=0. Como a exponencial é contínua, aplicamos e^{(\cdot)} em ambos os lados do limite:
\lim_{x\to+\infty} y = \lim_{x\to+\infty} e^{\ln y} = e^{\,\lim_{x\to+\infty}\ln y} = e^{0}=1.

Resposta

1

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