Calcules os limites (aqui a utilização da regra de L’Hôspital é permitida)
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas: a variável
tende para
; a expressão é uma potência onde a base
cresce e o expoente é
que tende a
. Não há outras condições fornecidas.
Passo 2
Para tratar limites com potência em que tanto a base quanto o expoente variam, uma técnica padrão é tomar o logaritmo natural porque ele transforma potência em produto, que é mais fácil de analisar. Defino
Aqui é válido tomar
porque, para
(e estamos com
), a expressão está bem definida. Aplicando
em ambos os lados:
Passo 3
Usando a propriedade do logaritmo
, obtemos
Agora o problema de encontrar
reduz-se a encontrar
e então recuperar
por exponenciação, pois a função exponencial
é contínua: se
então
.
Passo 4
Vamos calcular
Este é um caso do tipo
, portanto podemos aplicar a regra de L’Hôpital. Tomando derivadas de numerador e denominador em relação a
:
Pela regra de L’Hôpital,
(Observação intuitiva:
cresce muito mais devagar que
, por isso a razão tende a zero.)
Passo 5
Tivemos
. Como a exponencial é contínua, aplicamos
em ambos os lados do limite: