Calcules os limites (aqui a utilização da regra de L’Hôspital é permitida)
\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\cos x)^{1 / x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0^{+}}(\cos x)^{1/x^{2}}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função considerada é y(x)=(\cos x)^{1/x^{2}}.
  • O limite é tomado quando x tende a 0 pela direita ( x\to 0^{+}).
  • Sabe-se que \cos 0=1, então a expressão tem a forma 1^{\infty}, que é indeterminada.

Passo 2

Estratégia (explicada didaticamente): transformar a potência em produto usando o logaritmo natural, calcular o limite do logaritmo e depois aplicar a função exponencial (que é contínua) para obter o limite original. Mais precisamente, se definirmos
y(x)=(\cos x)^{1/x^{2}},
então vamos estudar o limite de
\ln y(x)=\frac{\ln(\cos x)}{x^{2}}.
Se \displaystyle L=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln(\cos x)}{x^{2}} existir (finito), então pela continuidade da exponencial
\lim_{x\to 0^{+}} y(x)=\lim_{x\to 0^{+}} e^{\ln y(x)} = e^{L}.
Aqui foi usada a propriedade: a exponencial é contínua, logo o limite do exponencial é o exponencial do limite.

Passo 3

Analisar o limite de \displaystyle \frac{\ln(\cos x)}{x^{2}}. Primeiro observação sobre a forma indeterminada:
\ln(\cos x)\xrightarrow[x\to0]{} \ln(1)=0,\qquad x^{2}\xrightarrow[x\to0]{}0,
logo temos a forma 0/0 e podemos aplicar a Regra de L’Hôspital (condição: numerador e denominador diferenciáveis em torno de 0 e tendendo a 0). A Regra de L’Hôspital diz que, se \lim f(x)=\lim g(x)=0 e as derivadas existem perto do ponto com \lim f'(x)/g'(x) existindo, então
\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Aplicando aqui com f(x)=\ln(\cos x) e g(x)=x^{2}:
  • Derivada do denominador: g'(x)=2x.
  • Derivada do numerador: calcular \dfrac{d}{dx}\ln(\cos x). Usando a regra da cadeia e \dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x, obtemos
\frac{d}{dx}\ln(\cos x)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x.
Portanto, pela Regra de L’Hôspital,
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln(\cos x)}{x^{2}}=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{-\tan x}{2x}.

Passo 4

Calcular \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}\frac{-\tan x}{2x}. Note que
\frac{\tan x}{x}=\frac{\sin x}{x\cos x}.
Dois limites padrão e muito úteis (e que pode-se usar sem calculadora na prova): \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 e \lim_{x\to 0}\cos x=1. Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\cdot\frac{1}{\cos x}=1\cdot 1=1.
Assim
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{-\tan x}{2x}=-\frac{1}{2}\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\tan x}{x}=-\frac{1}{2}\cdot 1=-\frac{1}{2}.
Portanto o limite do logaritmo é
L=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln(\cos x)}{x^{2}}=-\frac{1}{2}.

Passo 5

Retornar ao limite original usando a exponenciação: como \ln y(x)\to L=-\tfrac{1}{2}, temos
\lim_{x\to 0^{+}}(\cos x)^{1/x^{2}}=\lim_{x\to 0^{+}} e^{\ln y(x)}=e^{L}=e^{-1/2}.
Podemos também escrever e^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt{e}}, se preferir uma forma radical.

Resposta

e^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt{e}}

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