Calcules os limites (aqui a utilização da regra de L’Hôspital é permitida)
\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\cos x)^{1 / x^{2}}
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0^{+}}(\cos x)^{1/x^{2}}.
Informações dadas e observações iniciais:
A função considerada é y(x)=(\cos x)^{1/x^{2}}.
O limite é tomado quando x tende a 0 pela direita (x\to 0^{+}).
Sabe-se que \cos 0=1, então a expressão tem a forma 1^{\infty}, que é indeterminada.
Passo 2
Estratégia (explicada didaticamente): transformar a potência em produto usando o logaritmo natural, calcular o limite do logaritmo e depois aplicar a função exponencial (que é contínua) para obter o limite original. Mais precisamente, se definirmos
y(x)=(\cos x)^{1/x^{2}},
então vamos estudar o limite de
\ln y(x)=\frac{\ln(\cos x)}{x^{2}}.
Se \displaystyle L=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln(\cos x)}{x^{2}} existir (finito), então pela continuidade da exponencial
logo temos a forma 0/0 e podemos aplicar a Regra de L’Hôspital (condição: numerador e denominador diferenciáveis em torno de 0 e tendendo a 0). A Regra de L’Hôspital diz que, se \lim f(x)=\lim g(x)=0 e as derivadas existem perto do ponto com \lim f'(x)/g'(x) existindo, então