O cálculo abaixo foi desenvolvido de maneira correta? Justifique sua resposta.
\lim _{x \rightarrow 0} x \sin \left(\frac{1}{x}\right)=\lim _{x \rightarrow 0} x \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \sin \left(\frac{1}{x}\right)=0 \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \sin \left(\frac{1}{x}\right)=0 .

Passo 1

O enunciado nos dá o seguinte cálculo:
\lim_{x\to 0} x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)=\lim_{x\to 0} x\cdot \lim_{x\to 0}\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)=0\cdot \lim_{x\to 0}\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)=0.
A pergunta é: esse desenvolvimento está correto? Ou seja, a operação de separar o limite em produto foi válida e os passos justificam corretamente o valor final?

Passo 2

Regra importante sobre limites de produto (explicada passo a passo):
  • Teorema: se f e g têm limite finito quando x\to a, isto é, se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M existem (e são finitos), então
\lim_{x\to a} f(x)g(x)=LM.
  • O ponto chave: só é permitido separar \lim(fg)=\lim f\cdot\lim g quando ambos os limites individuais existem (e são números finitos). Se um deles não existir, essa propriedade não pode ser aplicada.
    Vou explicar isso com calma: a operação de “passar o limite para cada fator” exige hipóteses — não é uma identidade universal. Por isso, antes de separar, precisamos checar se \lim_{x\to 0}\sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right) existe.

Passo 3

Mostrar que \lim_{x\to 0}\sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right) NÃO existe (explicação didática usando sequências):
  • A ideia: provar ausência de limite encontrando duas sequências x_n\to 0 e y_n\to 0 tais que \sin\!\left(\tfrac{1}{x_n}\right) tenda a valores diferentes das \sin\!\left(\tfrac{1}{y_n}\right).
  • Escolha
x_n=\frac{1}{\tfrac{\pi}{2}+2\pi n}\quad\text{ e }\quad y_n=\frac{1}{\tfrac{3\pi}{2}+2\pi n},
com n\in\mathbb{N}. Então x_n\to 0 e y_n\to 0 quando n\to\infty.
  • Calcule \sin nesses pontos:
\sin\!\left(\frac{1}{x_n}\right)=\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}+2\pi n\right)=1,
\sin\!\left(\frac{1}{y_n}\right)=\sin\!\left(\tfrac{3\pi}{2}+2\pi n\right)=-1.
  • Conclusão: ao aproximar x por x_n a função \sin(1/x) tende a 1; ao aproximar por y_n tende a -1. Como os limites por sequências diferentes são distintos, \lim_{x\to 0}\sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right) não existe.

Passo 4

Implicação para o cálculo dado:
  • Como \lim_{x\to 0}\sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right) não existe, não se pode aplicar a regra do produto de limites para escrever
\lim_{x\to 0} x\sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right)=\left(\lim_{x\to 0} x\right)\left(\lim_{x\to 0}\sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right)\right).
  • Portanto, o raciocínio do enunciado (separar e colocar 0\cdot\lim\sin(1/x)) é logicamente inválido — a justificativa está errada.

Passo 5

Mesmo assim: como achar o limite corretamente? (método aplicado na prova: Teorema do confronto / squeeze)
  • Observação básica sobre \sin: para todo t vale -1\le \sin t\le 1.
  • Substituindo t=\tfrac{1}{x} e multiplicando por x, obtemos (usando valor absoluto para ficar uniforme para x positivo ou negativo)
\left|x\sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right)\right|\le |x|.
Isto implica
-|x|\le x\sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right)\le |x|.
  • Agora usamos o Teorema do Confronto (squeeze): sabemos que
\lim_{x\to 0} -|x|=0\quad\text{e}\quad \lim_{x\to 0} |x|=0.
Como x\sin(1/x) está entre essas duas funções que têm limite 0, segue que
\lim_{x\to 0} x\sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right)=0.
  • Comentário intuitivo: embora \sin(1/x) oscile sem limite quando x\to 0, o fator x “esmaga” essas oscilações porque x\to 0 força o produto a zero — a amplitude máxima do produto é |x|, que vai para zero.

Passo 6

Resumo final e tom motivador:
  • O valor final obtido no enunciado, 0, está correto.
  • Porém, o raciocínio apresentado (separar o limite em produto e usar \lim\sin(1/x)) é inválido porque \lim_{x\to 0}\sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right) não existe. A forma correta e rigorosa é usar o Teorema do Confronto como mostrei.
  • Fica a dica amiga: antes de separar limites em produtos ou quocientes, sempre cheque se os limites individuais existem (ou use argumentos que não exijam essa separação, como o squeeze).

Resposta

Não — a justificativa dada está incorreta porque \lim_{x\to 0}\sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right) não existe, então não se pode separar o limite em produto; entretanto, o valor do limite é \;0.

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