A pergunta é: esse desenvolvimento está correto? Ou seja, a operação de separar o limite em produto foi válida e os passos justificam corretamente o valor final?
Passo 2
Regra importante sobre limites de produto (explicada passo a passo):
Teorema: se f e g têm limite finito quando x\to a, isto é, se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M existem (e são finitos), então
\lim_{x\to a} f(x)g(x)=LM.
O ponto chave: só é permitido separar \lim(fg)=\lim f\cdot\lim g quando ambos os limites individuais existem (e são números finitos). Se um deles não existir, essa propriedade não pode ser aplicada.
Vou explicar isso com calma: a operação de “passar o limite para cada fator” exige hipóteses — não é uma identidade universal. Por isso, antes de separar, precisamos checar se \lim_{x\to 0}\sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right) existe.
Passo 3
Mostrar que \lim_{x\to 0}\sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right) NÃO existe (explicação didática usando sequências):
A ideia: provar ausência de limite encontrando duas sequências x_n\to 0 e y_n\to 0 tais que \sin\!\left(\tfrac{1}{x_n}\right) tenda a valores diferentes das \sin\!\left(\tfrac{1}{y_n}\right).
Escolha
x_n=\frac{1}{\tfrac{\pi}{2}+2\pi n}\quad\text{ e }\quad y_n=\frac{1}{\tfrac{3\pi}{2}+2\pi n},
com n\in\mathbb{N}. Então x_n\to 0 e y_n\to 0 quando n\to\infty.
Conclusão: ao aproximar x por x_n a função \sin(1/x) tende a 1; ao aproximar por y_n tende a -1. Como os limites por sequências diferentes são distintos, \lim_{x\to 0}\sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right) não existe.
Passo 4
Implicação para o cálculo dado:
Como \lim_{x\to 0}\sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right) não existe, não se pode aplicar a regra do produto de limites para escrever
Como x\sin(1/x) está entre essas duas funções que têm limite 0, segue que
\lim_{x\to 0} x\sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right)=0.
Comentário intuitivo: embora \sin(1/x) oscile sem limite quando x\to 0, o fator x “esmaga” essas oscilações porque x\to 0 força o produto a zero — a amplitude máxima do produto é |x|, que vai para zero.
Passo 6
Resumo final e tom motivador:
O valor final obtido no enunciado, 0, está correto.
Porém, o raciocínio apresentado (separar o limite em produto e usar \lim\sin(1/x)) é inválido porque \lim_{x\to 0}\sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right) não existe. A forma correta e rigorosa é usar o Teorema do Confronto como mostrei.
Fica a dica amiga: antes de separar limites em produtos ou quocientes, sempre cheque se os limites individuais existem (ou use argumentos que não exijam essa separação, como o squeeze).
Resposta
Não — a justificativa dada está incorreta porque \lim_{x\to 0}\sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right) não existe, então não se pode separar o limite em produto; entretanto, o valor do limite é \;0.