Sejam p(x) e h(x) polinômios com coeficientes reais e x_{0} um número real.
É correto afirmar que \lim _{x \rightarrow x_{0}}[p(x) \cdot h(x)]=p\left(x_{0}\right) h\left(x_{0}\right) ? Justifique.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma verificação:
São dados dois polinômios com coeficientes reais p(x) e h(x).
É dado um número real x_{0}.
A pergunta é: É correto afirmar que
O que significa a igualdade pedida? Vou explicar de forma bem clara e lembrando a definição de limite:
Dizer que \lim_{x\to x_{0}}f(x)=L significa que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que |x-x_{0}|<\delta (e x\neq x_{0}, se quiser), temos |f(x)-L|<\varepsilon.
Uma função f é contínua em x_{0} quando vale \lim_{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0}).
Portanto, a afirmação do enunciado é equivalente a: o produto p\cdot h é contínuo em x_{0} (ou, mais diretamente, que o limite do produto é o produto dos valores).
Passo 3
Primeiro passo técnico: mostrar que todo polinômio é contínuo em qualquer ponto. Vou fazer isso em duas etapas simples e didáticas.
3.1 Monômios são contínuos. Considere a função f(x)=x^{k} com k inteiro não-negativo e um ponto x_{0} fixo. Observe a fatoração
Denote por q(x)=x^{k-1}+x^{k-2}x_{0}+\cdots+x_{0}^{k-1}. Note que q é contínua e, em particular, é limitada numa vizinhança de x_{0}. Para tornar isso explícito em forma de estimativa útil: escolha \delta_{1}=1. Se |x-x_{0}|<\delta_{1} então |x|\le|x_{0}|+1, logo cada termo de q(x) tem módulo menor ou igual a (|x_{0}|+1)^{k-1}. Assim
Logo, dado \varepsilon>0, basta escolher \delta=\min\bigl(1,\tfrac{\varepsilon}{k\,(|x_{0}|+1)^{k-1}}\bigr) para garantir |x^{k}-x_{0}^{k}|<\varepsilon sempre que |x-x_{0}|<\delta. Isso prova que x^{k} é contínuo em x_{0}.
3.2 Polinômios são combinações lineares de monômios. Um polinômio tem a forma
p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0},
com coeficientes reais a_{i}. Já que cada função x\mapsto x^{k} é contínua em x_{0} e somas e produtos por constantes preservam continuidade, cada termo a_{k}x^{k} é contínuo em x_{0} e a soma finita desses termos é contínua. Conclusão: qualquer polinômio p é contínuo em x_{0}, isto é,
\lim_{x\to x_{0}}p(x)=p(x_{0}),
e o mesmo vale para h:
\lim_{x\to x_{0}}h(x)=h(x_{0}).
Passo 4
Agora uma propriedade geral que vamos usar: se duas funções f e g satisfazem \lim_{x\to x_{0}}f(x)=a e \lim_{x\to x_{0}}g(x)=b, então
\lim_{x\to x_{0}} \bigl(f(x)\,g(x)\bigr)=a\,b.
Vou dar uma prova curta e direta (epsilon–delta) dessa propriedade porque é útil saber como justificá-la numa prova de exame.
Sejam f,g com limites a,b em x_{0}. Para \varepsilon>0 vamos encontrar \delta>0 tal que |f(x)g(x)-ab|<\varepsilon sempre que |x-x_{0}|<\delta. Reescreve-se
Como \lim_{x\to x_{0}}f(x)=a, existe \delta_{1}>0 tal que |f(x)-a|<1 sempre que |x-x_{0}|<\delta_{1}; daí |f(x)|\le |a|+1 nessa vizinhança. Além disso, pela definição de limite existem \delta_{2},\delta_{3}>0 tais que
Portanto \lim_{x\to x_{0}}f(x)g(x)=ab. Essa é a justificativa padrão de que o limite do produto é o produto dos limites, quando os limites individuais existem.
Passo 5
Aplicando as peças que já provamos:
Das contas do Passo 3 temos \lim_{x\to x_{0}}p(x)=p(x_{0}) e \lim_{x\to x_{0}}h(x)=h(x_{0}).
Pelo resultado do Passo 4 (produto de limites) segue