Sejam p(x) e h(x) polinômios com coeficientes reais e x_{0} um número real.
Se h\left(x_{0}\right) \neq 0, é correto afirmar que \lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{p(x)}{h(x)}=\frac{p\left(x_{0}\right)}{h\left(x_{0}\right)} ? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • p(x) e h(x) são polinômios com coeficientes reais.
  • x_{0} é um número real.
  • h\left(x_{0}\right)\neq 0.
O que se pede: verificar se vale
\lim_{x\to x_{0}}\frac{p(x)}{h(x)}=\frac{p\left(x_{0}\right)}{h\left(x_{0}\right)}
e justificar a resposta.

Passo 2

Primeiro lembretes úteis e fatos básicos que vamos usar (e que vou justificar de forma simples):
  • Se f e g têm limites em x_{0}, então \lim(f+g)=\lim f+\lim g e \lim(fg)=\lim f\cdot\lim g. Estas são as regras algébricas de limites.
  • Se \lim g(x)=B com B\neq 0, então \lim \dfrac{1}{g(x)}=\dfrac{1}{B}. A partir disso segue a regra do quociente: \lim \dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\lim f(x)}{\lim g(x)} quando \lim g(x)\neq 0.
Vou justificar rapidamente a propriedade da recíproca (porque é a peça chave quando o denominador não é zero). Seja g com \lim_{x\to x_{0}}g(x)=B e B\neq 0. Então g(x) fica próximo de B quando x está perto de x_{0}; em particular existe um entorno onde |g(x)|\ge \tfrac{|B|}{2}>0, logo g(x) não se anula perto de x_{0} e a quantidade \dfrac{1}{g(x)} é bem definida ali. Observe
\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{B}=\frac{B-g(x)}{B\,g(x)}.
Como g(x)\to B, o numerador B-g(x)\to 0, e o denominador B\,g(x)\to B^{2}\neq 0; portanto o quociente tende a 0, isto é \dfrac{1}{g(x)}\to \dfrac{1}{B}. Isso justifica a regra do quociente.

Passo 3

Agora mostro que polinômios são limites “boazinhas”: para todo inteiro n\ge 0,
\lim_{x\to x_{0}} x^{n}=x_{0}^{n}.
Prova por indução simples:
  • Caso base n=0: x^{0}=1 é constante, logo \lim_{x\to x_{0}}x^{0}=1=x_{0}^{0}.
  • Para n=1: \lim_{x\to x_{0}}x=x_{0} é imediato.
  • Passo indutivo: suponha \lim_{x\to x_{0}}x^{n}=x_{0}^{n}. Então
\lim_{x\to x_{0}}x^{n+1}=\lim_{x\to x_{0}}(x^{n}\cdot x)=\left(\lim_{x\to x_{0}}x^{n}\right)\left(\lim_{x\to x_{0}}x\right)=x_{0}^{n}\cdot x_{0}=x_{0}^{n+1},
usando a regra do produto de limites. Assim a propriedade vale para todo n.

Passo 4

Seja agora um polinômio genérico
p(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{m}x^{m},
com coeficientes reais a_{k}. Pelas regras de limites (limite da soma e de constantes multiplicadas),
\lim_{x\to x_{0}}p(x)=\lim_{x\to x_{0}}\left(\sum_{k=0}^{m} a_{k}x^{k}\right)=\sum_{k=0}^{m} a_{k}\lim_{x\to x_{0}}x^{k}=\sum_{k=0}^{m} a_{k}x_{0}^{k}=p\left(x_{0}\right).
Portanto todo polinômio é contínuo em todo ponto real: o limite no ponto é o valor do polinômio no ponto.

Passo 5

Aplicando o mesmo raciocínio a h(x), obtemos
\lim_{x\to x_{0}}h(x)=h\left(x_{0}\right).
Pelo enunciado h\left(x_{0}\right)\neq 0, então pelo argumento do Passo 2 a função 1/h(x) tem limite \dfrac{1}{h(x_{0})} quando x\to x_{0}. Usando a regra do produto novamente,
\lim_{x\to x_{0}}\frac{p(x)}{h(x)}=\lim_{x\to x_{0}}\bigl(p(x)\cdot \tfrac{1}{h(x)}\bigr)=\left(\lim_{x\to x_{0}}p(x)\right)\left(\lim_{x\to x_{0}}\tfrac{1}{h(x)}\right) = p\left(x_{0}\right)\cdot\frac{1}{h\left(x_{0}\right)}=\frac{p\left(x_{0}\right)}{h\left(x_{0}\right)}.

Passo 6

Conclusão clara e direta: sim, a igualdade pedida vale, porque polinômios são funções contínuas e a divisão preserva o limite quando o denominador tem limite não nulo.

Resposta

Sim: \displaystyle \lim_{x\to x_{0}}\frac{p(x)}{h(x)}=\frac{p\left(x_{0}\right)}{h\left(x_{0}\right)}.

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