Sejam
e
polinômios com coeficientes reais e
um número real.
Se
, é correto afirmar que
? Justifique.
Se
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
e são polinômios com coeficientes reais. -
é um número real. -
.
O que se pede: verificar se vale
e justificar a resposta.
Passo 2
Primeiro lembretes úteis e fatos básicos que vamos usar (e que vou justificar de forma simples):
- Se
e têm limites em , então e . Estas são as regras algébricas de limites. - Se
com , então . A partir disso segue a regra do quociente: quando .
Vou justificar rapidamente a propriedade da recíproca (porque é a peça chave quando o denominador não é zero). Seja
com
e
. Então
fica próximo de
quando
está perto de
; em particular existe um entorno onde
, logo
não se anula perto de
e a quantidade
é bem definida ali. Observe
Como
, o numerador
, e o denominador
; portanto o quociente tende a
, isto é
. Isso justifica a regra do quociente.
Passo 3
Agora mostro que polinômios são limites “boazinhas”: para todo inteiro
,
Prova por indução simples:
- Caso base
: é constante, logo . - Para
: é imediato. - Passo indutivo: suponha
. Então
usando a regra do produto de limites. Assim a propriedade vale para todo
.
Passo 4
Seja agora um polinômio genérico
com coeficientes reais
. Pelas regras de limites (limite da soma e de constantes multiplicadas),
Portanto todo polinômio é contínuo em todo ponto real: o limite no ponto é o valor do polinômio no ponto.
Passo 5
Aplicando o mesmo raciocínio a
, obtemos
Pelo enunciado
, então pelo argumento do Passo 2 a função
tem limite
quando
. Usando a regra do produto novamente,
Passo 6
Conclusão clara e direta: sim, a igualdade pedida vale, porque polinômios são funções contínuas e a divisão preserva o limite quando o denominador tem limite não nulo.
Resposta
Sim:
.