Cálculo 1. (Aula 4 )
lim x +infty(raiz[3]x+8 x^3-2 x)

Passo 1

O problema pede limxto+inftyl(raiz[3]x+8x^3-2xr). Isso é um caso de forma indeterminada infty-infty, e vamos usar manipulação algébrica (fatoração de diferença de cubos) para resolver. Vamos precisar saber que a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).

Passo 2

Definimos
alpha=raiz[3]x+8x^3, beta=2x
para escrever
alpha-beta=raiz[3]x+8x^3-2x
Multiplicamos e dividimos por alpha^2+alphabeta+beta^2 para eliminar a diferença de cubos.

Passo 3

Aplicando a fatoração, temos
(alpha-beta)(alpha^2+alphabeta+beta^2)=alpha^3-beta^3=(x+8x^3)-(8x^3)=x
Assim,
raiz[3]x+8x^3-2x=xalpha^2+alphabeta+beta^2

Passo 4

Agora escrevemos o denominador explicitamente:
alpha^2+alphabeta+beta^2= l(raiz[3]x+8x^3r)^2+2xraiz[3]x+8x^3+4x^2
Para xtoinfty vale raiz[3]x+8x^3sim2x, então o denominador se comporta como
4x^2+4x^2+4x^2=12x^2

Passo 5

Logo a expressão vira
x12x^2=112x
e, à medida que xto+infty, isso tende a zero.

Resposta

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