O enunciado pede para mostrar que o conjunto \mathrm{GL}_2(\mathbb{R}) não é fechado sob adição em M_2(\mathbb{R}). Em outras palavras, precisamos encontrar duas matrizes A,B\in\mathrm{GL}_2(\mathbb{R}) tais que A+B\notin\mathrm{GL}_2(\mathbb{R}). Para isso, vamos usar a definição de invertibilidade via determinante.
A + B = I_2 + (-I_2) = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[3pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Essa é a matriz nula, cuja determinante é
\det(A+B) = \det\bigl(0_{2\times2}\bigr) = 0.
Como \det(A+B)=0, a matriz A+B não é invertível, ou seja, A+B\notin\mathrm{GL}_2(\mathbb{R}).]
Resposta
O exemplo
A = I_2,\quad B = -I_2
mostra que A,B\in\mathrm{GL}_2(\mathbb{R}) mas A+B=0 não está em \mathrm{GL}_2(\mathbb{R}). Portanto, \mathrm{GL}_2(\mathbb{R}) não é fechado para a adição.