O conjunto G L_{2}(\mathbb{R}) das matrizes inversíveis não é fechado para a adição em M_{2}(\mathbb{R}), pois, por exemplo:
\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right) \in G L_{2}(\mathbb{R}),\left(\begin{array}{rr} -1 & 0 \\\\ 0 & -1 \end{array}\right) \in G L_{2}(\mathbb{R}) \text { e }\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right)+\left(\begin{array}{rr} -1 & 0 \\\\ 0 & -1 \end{array}\right) \notin G L_{2}(\mathbb{R})

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto \mathrm{GL}_2(\mathbb{R}) não é fechado sob adição em M_2(\mathbb{R}). Em outras palavras, precisamos encontrar duas matrizes A,B\in\mathrm{GL}_2(\mathbb{R}) tais que A+B\notin\mathrm{GL}_2(\mathbb{R}). Para isso, vamos usar a definição de invertibilidade via determinante.

Passo 2

Escolhemos
A = I_2 = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[6pt] 0 & 1\end{pmatrix}, \quad B = -I_2 = \begin{pmatrix}-1 & 0 \\[6pt] 0 & -1\end{pmatrix}.
Ambas são invertíveis porque
\det(A) = \det(I_2) = 1 \quad\text{e}\quad \det(B) = \det(-I_2) = (-1)^2 = 1,
logo A,B\in\mathrm{GL}_2(\mathbb{R}).]

Passo 3

Agora calculemos a soma:
A + B = I_2 + (-I_2) = \begin{pmatrix}0 & 0 \\[3pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Essa é a matriz nula, cuja determinante é
\det(A+B) = \det\bigl(0_{2\times2}\bigr) = 0.
Como \det(A+B)=0, a matriz A+B não é invertível, ou seja, A+B\notin\mathrm{GL}_2(\mathbb{R}).]

Resposta

O exemplo
A = I_2,\quad B = -I_2
mostra que A,B\in\mathrm{GL}_2(\mathbb{R}) mas A+B=0 não está em \mathrm{GL}_2(\mathbb{R}). Portanto, \mathrm{GL}_2(\mathbb{R}) não é fechado para a adição.

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