O cálculo do comprimento de uma curva é uma das informações importantes que usamos para avaliar a área dessa curva. Seja em coordenadas cartesianas L equals integral subscript a superscript straight b square root of 1 plus open parentheses fraction numerator d y over denominator d x end fraction close parentheses squared end root d x ou em coordenadas polares L equals integral subscript alpha superscript beta square root of open parentheses f left parenthesis theta right parenthesis close parentheses squared plus open parentheses f apostrophe left parenthesis theta right parenthesis close parentheses squared end root d theta o comprimento de um arco é calculado utilizando integrais definidas. Calcule o comprimento do da circunferência descrita pela equação rho equals 4. Alternativas: a) 8p b) 2p c) 4p d) 16p e) 3p
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o comprimento de uma circunferência definida pela equação
em coordenadas polares. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em coordenadas polares, que envolve integrais definidas.
Passo 2
Em coordenadas polares, o comprimento de um arco
é calculado pela fórmula:
No nosso caso, a equação da circunferência é
. Isso significa que
.
Passo 3
Vamos calcular
, que é a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Substituindo
e
na fórmula do comprimento do arco, temos:
Passo 5
Agora, precisamos determinar os limites da integral. Como estamos calculando o comprimento de uma circunferência completa,
varia de
a
. Então, substituímos
e
:
Resposta
O comprimento da circunferência descrita pela equação
é
. Portanto, a alternativa correta é a a)
.