O cálculo do comprimento de uma curva é uma das informações importantes que usamos para avaliar a área dessa curva. Seja em coordenadas cartesianas L equals integral subscript a superscript straight b square root of 1 plus open parentheses fraction numerator d y over denominator d x end fraction close parentheses squared end root d x ou em coordenadas polares L equals integral subscript alpha superscript beta square root of open parentheses f left parenthesis theta right parenthesis close parentheses squared plus open parentheses f apostrophe left parenthesis theta right parenthesis close parentheses squared end root d theta o comprimento de um arco é calculado utilizando integrais definidas. Calcule o comprimento do da circunferência descrita pela equação rho equals 4. Alternativas: a) 8p b) 2p c) 4p d) 16p e) 3p

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o comprimento de uma circunferência definida pela equação rho = 4 em coordenadas polares. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco em coordenadas polares, que envolve integrais definidas.

Passo 2

Em coordenadas polares, o comprimento de um arco L é calculado pela fórmula:
L = integralalpha^beta raiz(f(theta))^2 + (dfdtheta)^2 , dtheta
No nosso caso, a equação da circunferência é rho = 4. Isso significa que f(theta) = 4.

Passo 3

Vamos calcular dfdtheta, que é a derivada de f(theta) em relação a theta.
dfdtheta = ddtheta(4) = 0

Passo 4

Substituindo f(theta) = 4 e dfdtheta = 0 na fórmula do comprimento do arco, temos:
L = integralalpha^beta raiz4^2 + 0^2 , dtheta = integralalpha^beta raiz16 , dtheta = integralalpha^beta 4 , dtheta

Passo 5

Agora, precisamos determinar os limites da integral. Como estamos calculando o comprimento de uma circunferência completa, theta varia de 0 a 2pi. Então, substituímos alpha = 0 e beta = 2pi:
L = integral0^2pi 4 , dtheta = 4 times (2pi - 0) = 8pi

Resposta

O comprimento da circunferência descrita pela equação rho = 4 é 8pi. Portanto, a alternativa correta é a a) 8pi.

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