Um partícula move-se ao longo de uma reta com função velocidade v(t) = t²- t, onde v é medida em metros por segundo. Sabendo que a distância percorrida pela partícula é igual a integral da função velocidade. Determine a distância percorrida pela partícula durante o intervalo de tempo [0,5].
qual das respostas esta correta?
19,34 m
42,39 m
29,17 m
14,25 m
30,27 m

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo! Temos uma partícula que se move ao longo de uma reta com a função de velocidade $ v(t) = t^2 - t $, onde $ v $ está em metros por segundo. O objetivo é determinar a distância percorrida por essa partícula no intervalo de tempo de 0 a 5 segundos. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integração da função velocidade, que nos dá a distância total percorrida.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a distância percorrida é a integral da velocidade. Isso significa que vamos calcular a área sob a curva da função $ v(t) $ entre os limites de 0 e 5 segundos. A fórmula para a distância $ S $ é:
v(t)

Passo 3

Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, integramos cada termo separadamente:
integral (t^2 - t) , dt = integral t^2 , dt - integral t , dt = t^33 - t^22 + C
Onde $ C $ é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque estamos calculando um intervalo definido.

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor da integral nos limites de 0 a 5:
S = [ 5^33 - 5^22 ] - [ 0^33 - 0^22 ] = [ 1253 - 252 ] - 0
Vamos transformar os frações para facilitar a subtração:
1253 = 416, 252 = 12.5
Assim:
S = 416 - 12.5 = 29.166 , metros

Passo 5

Portanto, a distância percorrida pela partícula no intervalo de 0 a 5 segundos é aproximadamente 29,17 metros.

Resposta

A distância percorrida pela partícula é 29,17 m.

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