Cálculo de derivadas - 2,0 pontos
a) Dx(5 x raiz[3]3 x^3+x)=
b) dd x(3 cotg x-2 sen^2 xsen x)^2=

Passo 1

Beleza, vamos começar com a parte a). O enunciado pede para calcular a derivada de 5x raiz[3]3x^3 + x. Estamos trabalhando com derivadas de funções compostas e produtos, então vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia para resolver essa questão.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos as duas funções que estão sendo multiplicadas:
  • u(x) = 5x
  • v(x) = raiz[3]3x^3 + x = (3x^3 + x)^1/3
A regra do produto diz que a derivada de u(x) cdot v(x) é:
u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x)

Passo 3

Vamos calcular u'(x):
u(x) = 5x implies u'(x) = 5
Agora, vamos calcular v'(x). Para isso, usamos a regra da cadeia. Seja w(x) = 3x^3 + x, então:
v(x) = w(x)^1/3 implies v'(x) = 13w(x)^-2/3 cdot w'(x)
Calculando w'(x):
w'(x) = 9x^2 + 1
Então,
v'(x) = 13(3x^3 + x)^-2/3 cdot (9x^2 + 1)

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do produto:
Dx(5x cdot (3x^3 + x)^1/3) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x)
Substituindo:
= 5 cdot (3x^3 + x)^1/3 + 5x cdot 13(3x^3 + x)^-2/3 cdot (9x^2 + 1)

Passo 5

Podemos simplificar um pouco mais a expressão, mas vamos deixar da forma acima para facilitar a visualização da derivada.

Passo 6

Agora, vamos para a parte b). O enunciado pede para calcular a derivada de (3 cot x - 2 sin^2xsin x)^2. Aqui, vamos precisar usar a regra da cadeia e também derivar funções trigonométricas como cotangente e seno.

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dentro do quadrado primeiro. Seja:
f(x) = 3 cot x - 2 sin^2xsin x
Queremos derivar f(x)^2. Usando a regra da cadeia, a derivada de f(x)^2 é:
2 f(x) cdot f'(x)

Passo 8

Primeiro, vamos achar f(x):
f(x) = 3 cot x - 2 sin^2xsin x = 3 cos xsin x - 2 sin^2xsin x = 3 cos xsin^2x - 2 sin x

Passo 9

Agora, vamos calcular f'(x):
f'(x) = ddx(3 cos xsin^2x - 2 sin x) = 3 cdot ddx(cos xsin^2x) - 2 cos x
Para derivar cos xsin^2x, usamos a regra do quociente:
ddx(cos xsin^2x) = -sin x cdot sin^2x - cos x cdot 2 sin x cos xsin^4x = -sin^3x - 2 sin x cos^2xsin^4x
Simplificando:
= -sin^2x + 2 cos^2xsin^3x
Então,
f'(x) = 3 (-sin^2x + 2 cos^2xsin^3x) - 2 cos x = -3(sin^2x + 2 cos^2x)sin^3x - 2 cos x

Passo 10

Finalmente, aplicamos a regra da cadeia:
ddx(f(x)^2) = 2 f(x) cdot f'(x) = 2 (3 cos xsin^2x - 2 sin x) (-3(sin^2x + 2 cos^2x)sin^3x - 2 cos x)

Resposta

dd x(3 cot x - 2 sin^2 xsin x)^2 = 2 (3 cos xsin^2x - 2 sin x) (-3(sin^2x + 2 cos^2x)sin^3x - 2 cos x)

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