Determine o limite, se ele existir, caso contrário, mostre que ele não existe. Justifique sua resposta.
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite bilinear: . Esse tipo de problema pertence à matéria de cálculo multivariável, especificamente no estudo de limites em duas variáveis. Para resolver, vamos precisar analisar o comportamento da função à medida que se aproxima de por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao longo do eixo , ou seja, quando . Substituindo na função:
À medida que , . Então, pelo caminho , o limite é .
Passo 3
Agora, vamos considerar outro caminho, por exemplo, a reta . Substituindo na função:
Quando , . Então, pelo caminho , o limite também é .
Passo 4
Vamos testar um caminho diferente para ver se o limite é consistente. Escolha, por exemplo, a parábola . Substituindo na função:
Quando , . Assim, pelo caminho , o limite é .
Passo 5
Vamos agora tentar um caminho onde depende de de forma diferente, por exemplo, , onde é uma constante qualquer. Substituindo :
À medida que , para qualquer valor de . Portanto, pelo caminho , o limite é .
Passo 6
Embora tenhamos obtido o limite igual a por vários caminhos diferentes, precisamos ter certeza absoluta de que o limite existe e é . Para isso, vamos usar uma estimativa geral.
Observamos que:
E sabemos que . Portanto:
À medida que , tanto quanto tendem a , então a expressão inteira tende a .