Determine o limite, se ele existir, caso contrário, mostre que ele não existe. Justifique sua resposta.
b) lim (x, y) (0,0) x^2+2 x yraizx^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite bilinear: . Esse tipo de problema pertence à matéria de cálculo multivariável, especificamente no estudo de limites em duas variáveis. Para resolver, vamos precisar analisar o comportamento da função à medida que se aproxima de por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao longo do eixo x^2 + 2x cdot 0raizx^2 + 0^2 = x^2|x| = |x| , ou seja, quando . Substituindo na função:
À medida que , . Então, pelo caminho , o limite é .

Passo 3

Agora, vamos considerar outro caminho, por exemplo, a reta x^2 + 2x cdot xraizx^2 + x^2 = x^2 + 2x^2raiz2x^2 = 3x^2|x|raiz2 = 3|x|raiz2 . Substituindo na função:
Quando , . Então, pelo caminho , o limite também é .

Passo 4

Vamos testar um caminho diferente para ver se o limite é consistente. Escolha, por exemplo, a parábola x^2 + 2x cdot x^2raizx^2 + x^4 = x^2 + 2x^3raizx^2(1 + x^2) = x^2(1 + 2x)|x|raiz1 + x^2 = |x|(1 + 2x)raiz1 + x^2 . Substituindo na função:
Quando , . Assim, pelo caminho , o limite é .

Passo 5

Vamos agora tentar um caminho onde x^2 + 2x cdot kxraizx^2 + (kx)^2 = x^2(1 + 2k)|x|raiz1 + k^2 = |x|(1 + 2k)raiz1 + k^2 depende de de forma diferente, por exemplo, , onde é uma constante qualquer. Substituindo :
À medida que , para qualquer valor de . Portanto, pelo caminho , o limite é .

Passo 6

Embora tenhamos obtido o limite igual a |x^2 + 2xy| <= |x|^2 + 2|x||y| por vários caminhos diferentes, precisamos ter certeza absoluta de que o limite existe e é | x^2 + 2xyraizx^2 + y^2 | <= |x|^2 + 2|x||y||x| = |x| + 2|y| . Para isso, vamos usar uma estimativa geral.
Observamos que:
E sabemos que . Portanto:
À medida que , tanto quanto tendem a , então a expressão inteira tende a .

Resposta

O limite é .

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