Resolva o problema de valor inicial dado. (9 x^2 + y - 10) - (4 y - x) y' = 0, y(1) = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você trouxe um problema de equação diferencial com um valor inicial:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais ordinárias. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais e aplicar a condição inicial para encontrar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para que fique mais fácil de trabalhar. A equação dada é:
Vamos mover o termo que envolve para o outro lado da igualdade:

Passo 3

Agora, queremos isolar . Para isso, dividimos ambos os lados por :

Passo 4

Essa equação é uma equação diferencial de primeira ordem, mas não é linear devido aos termos envolvendo tanto no numerador quanto no denominador. Vamos tentar separar as variáveis ou encontrar um fator integrante que simplifique a equação.
Observando a estrutura da equação, podemos tentar reescrevê-la na forma de uma equação homogênea ou tentar uma substituição para simplificar.

Passo 5

Vamos testar uma substituição. Suponha que . Isso não simplifica nada, então tentemos algo diferente. Outra abordagem é verificar se a equação pode ser exata ou se podemos torná-la exata.
Vamos reescrever a equação original:
Isso pode ser reescrito como:

Passo 6

Vamos tentar reorganizar os termos:
Agora, vamos verificar se é possível separar as variáveis ou identificar um fator integrante.

Passo 7

Outra abordagem é verificar se a equação pode ser linearizada. Para isso, tentamos expressá-la na forma padrão de uma equação linear:
Mas, comparando com a nossa equação:
Percebe-se que não é imediatamente linear.

Passo 8

Vamos tentar rearranjar os termos para facilitar a identificação de uma solução. Podemos multiplicar ambos os lados por :
Agora, expandimos o lado esquerdo:
Ainda assim, não está claro como simplificar diretamente. Vamos tentar uma substituição diferente.

Passo 9

Vamos supor uma substituição do tipo . Então, derivando ambos os lados em relação a :
Agora, podemos expressar em termos de :

Passo 10

Substituindo e na equação original:
Simplificando:

Passo 11

Agora, substituímos em termos de : . Substituindo na equação:
Multiplicamos ambos os lados por 4 para eliminar as frações:

Passo 12

Explicando um pouco da teoria: ao fazer essa substituição, estamos tentando transformar a equação original em uma forma que seja mais fácil de integrar ou resolver, possivelmente separando as variáveis ou deixando-a linear.
Continuando com a simplificação:
Agora, subtraímos de ambos os lados:

Passo 13

Agora temos uma equação separável, onde podemos colocar todos os termos envolvendo de um lado e termos envolvendo do outro:
Rearranjando:

Passo 14

Agora, integramos ambos os lados:
Calculando as integrais:
Onde é a constante de integração.

Passo 15

Substituímos de volta na equação:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Podemos renomear como uma nova constante :

Passo 16

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :
Substituindo e :
Simplificando:
Então,

Passo 17

Substituindo de volta na equação:
Agora, você pode deixar a solução implícita dessa forma ou resolver para :
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
Então,

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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