Resolva o problema de valor inicial dado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você trouxe um problema de equação diferencial com um valor inicial:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais ordinárias. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais e aplicar a condição inicial para encontrar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para que fique mais fácil de trabalhar. A equação dada é:
Vamos mover o termo que envolve
para o outro lado da igualdade:
Passo 3
Agora, queremos isolar
. Para isso, dividimos ambos os lados por
:
Passo 4
Essa equação é uma equação diferencial de primeira ordem, mas não é linear devido aos termos envolvendo
tanto no numerador quanto no denominador. Vamos tentar separar as variáveis ou encontrar um fator integrante que simplifique a equação.
Observando a estrutura da equação, podemos tentar reescrevê-la na forma de uma equação homogênea ou tentar uma substituição para simplificar.
Passo 5
Vamos testar uma substituição. Suponha que
. Isso não simplifica nada, então tentemos algo diferente. Outra abordagem é verificar se a equação pode ser exata ou se podemos torná-la exata.
Vamos reescrever a equação original:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 6
Vamos tentar reorganizar os termos:
Agora, vamos verificar se é possível separar as variáveis ou identificar um fator integrante.
Passo 7
Outra abordagem é verificar se a equação pode ser linearizada. Para isso, tentamos expressá-la na forma padrão de uma equação linear:
Mas, comparando com a nossa equação:
Percebe-se que não é imediatamente linear.
Passo 8
Vamos tentar rearranjar os termos para facilitar a identificação de uma solução. Podemos multiplicar ambos os lados por
:
Agora, expandimos o lado esquerdo:
Ainda assim, não está claro como simplificar diretamente. Vamos tentar uma substituição diferente.
Passo 9
Vamos supor uma substituição do tipo
. Então, derivando ambos os lados em relação a
:
Agora, podemos expressar
em termos de
:
Passo 10
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 11
Agora, substituímos
em termos de
:
. Substituindo na equação:
Multiplicamos ambos os lados por 4 para eliminar as frações:
Passo 12
Explicando um pouco da teoria: ao fazer essa substituição, estamos tentando transformar a equação original em uma forma que seja mais fácil de integrar ou resolver, possivelmente separando as variáveis ou deixando-a linear.
Continuando com a simplificação:
Agora, subtraímos
de ambos os lados:
Passo 13
Agora temos uma equação separável, onde podemos colocar todos os termos envolvendo
de um lado e termos envolvendo
do outro:
Rearranjando:
Passo 14
Agora, integramos ambos os lados:
Calculando as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Passo 15
Substituímos
de volta na equação:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Podemos renomear
como uma nova constante
:
Passo 16
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Então,
Passo 17
Substituindo
de volta na equação:
Agora, você pode deixar a solução implícita dessa forma ou resolver para
:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
Então,
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: