Derive a função f(x)=(ln x)^x x^ln x :
Escolha uma opção:
f^prime(x)=(ln x)^x(x^x)(1x-ln (ln x)-2 ln xx)

Passo 1

O exercício pede para derivar a função f(x)=(ln x)^x,x^ln x. É um problema de derivada de função composta com expoente variável, então vamos usar a técnica de derivação logarítmica.

Passo 2

Tomamos o logaritmo natural de ambos os lados para simplificar produtos e potências.
ln f(x)=lnl((ln x)^x,x^ln xr)=xln(ln x)+ (ln x)^2

Passo 3

Derivamos em relação a x, lembrando que f'/f=(ln f)'
Para xln(ln x) temos
ddxl[xln(ln x)r]=1cdotln(ln x)+xcdot1ln xcdot1x=ln(ln x)+1ln x
Para (ln x)^2 temos
ddxl[(ln x)^2r]=2ln xcdot1x=2ln xx
Somando,
f'(x)f(x)=ln(ln x)+1ln x+2ln xx

Passo 4

Isolando f'(x) e substituindo f(x):
f'(x)=f(x)l(ln(ln x)+1ln x+2ln xxr)= (ln x)^x,x^ln xl(ln(ln x)+1ln x+2ln xxr)

Resposta

f'(x)=(ln x)^x,x^ln xl(ln(ln x)+tfrac1ln x+tfrac2ln xxr)

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