Cálculo de derivadas - 2,0 pontos) Calcule as derivadas das funçöes.
y=ln (cos (x))ln (tg(x))

Passo 1

Neste exercício temos a função
y=ln(cos x)ln(tan x)
O conteúdo é regra do quociente e derivadas de logaritmos. Vamos precisar da fórmula
gl(uvgr)'=u'v - uv'v^2
e também de derivar ln(cos x) e ln(tan x).

Passo 2

Primeiro, definimos
u(x)=ln(cos x), v(x)=ln(tan x)
Derivando u(x): como (ln w)'=w'/w e (cos x)'=-sin x, temos
u'(x)=-sin xcos x=-tan x

Passo 3

Agora derivamos v(x)=ln(tan x). De novo (ln w)'=w'/w e (tan x)'=sec^2 x, logo
v'(x)=sec^2 xtan x=1/cos^2 xsin x/cos x=1sin xcos x

Passo 4

Aplicamos a regra do quociente:
y'=u'v - u v'v^2 =l(-tan xr)ln(tan x) - ln(cos x)cdot1sin xcos xl[ln(tan x)r]^2

Passo 5

Para simplificar o numerador, note que
-tan x,ln(tan x)=-sin xcos xln(tan x)= -sin^2 xln(tan x)sin xcos x
Assim o numerador fica
-sin^2 xln(tan x)sin xcos x-ln(cos x)sin xcos x =-sin^2 xln(tan x)+ln(cos x)sin xcos x
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Passo 6

Finalizando, a derivada é
y'= -sin^2 xln(tan x)+ln(cos x)sin xcos x,l[ln(tan x)r]^2

Resposta

y'= -dfracsin^2 xln(tan x)+ln(cos x)sin xcos x,[ln(tan x)]^2

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