Cálculo de derivadas - 2,0 pontos) Calcule as derivadas das funçöes.
y=e^tg^2(2 x+1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = e^tan^2l(2x+1r)
O conteúdo aqui é a regra da cadeia aplicada duas vezes: primeiro na derivada de uma exponencial composta e depois na derivada de tan^2(cdot).

Passo 2

Vamos chamar
u(x) = tan^2l(2x+1r)
de modo que
y = e^u(x)
Pela regra da cadeia,
y' = ddxl(e^u(x)r) = e^u(x) cdot u'(x)

Passo 3

Agora calculamos
u'(x) = ddxl[tan^2l(2x+1r)r]
Novamente usamos a regra da cadeia: se v(x)=tan(2x+1), então tan^2(2x+1) = [v(x)]^2 e
ddx[v(x)]^2 = 2,v(x),v'(x)
Aqui v(x)=tan(2x+1), logo
v'(x) = ddxl[tan(2x+1)r] = sec^2l(2x+1r)cdot ddx(2x+1) = 2,sec^2l(2x+1r)

Passo 4

Substituindo v e v' em u'(x) temos
u'(x) = 2,tanl(2x+1r),l[2,sec^2l(2x+1r)r] = 4,tanl(2x+1r),sec^2l(2x+1r)
Então, voltando à derivada de y,
y' = e^u(x) cdot u'(x) = e^tan^2(2x+1) cdot l[4,tan(2x+1),sec^2(2x+1)r]

Resposta

y' = 4,tanl(2x+1r),sec^2l(2x+1r),e^tan^2(2x+1)

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